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Vektorrechnung

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Erklärung

Einleitung

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten. Eine Lösung eines LGS muss alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. In diesem Abschnitt werden LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten behandelt, und du lernst hier, wie du es lösen kannst. Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich bei einer Zeilenumformung nicht, wenn

  • die Reihenfolge von Zeilen vertauscht,
  • eine Zeile mit einer vn Null verschiedenen Zahl multipliziert oder dividiert,
  • eine Zeile oder ein Vielfaches von ihr zu einer anderen Zeile addiert wird.
Beispiel für eine Anwendung ist ein LGS, das drei Ebenen darstellt, deren Schnittmenge du bestimmen sollst. Das ist auch im Abschnitt Schnitt Ebene-Ebene erklärt.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) wird gelöst, indem man es durch Zeilenumformungen auf Stufenform bringt.

Gesucht sind die Lösungen des folgenden LGS:
Gleichung wird behalten. Durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen und die Variable eliminiert.
Gleichungen und werden behalten. Durch Zeilenumformungen wird in Gleichung die Variable eliminiert.
Jetzt hat das LGS Stufenform und es können nacheinander die Lösungen für , und abgelesen werden.

Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem.
  • Eindeutige Lösung: Jede Unbekannte kann eindeutig und ohne Widerspruch gelöst werden (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich in genau einem Punkt).
  • Keine Lösung: Die Lösung enthält einen Widerspruch (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich nicht).
  • Lösungsschar: Es gibt mehrere Lösungen (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich in einer Geraden oder Ebene).

Löse folgendes LGS:
Das LGS wird auf Stufenform gebracht und liefert eine eindeutige Lösung.

Gegeben ist folgendes LGS:
Das LGS hat keine Lösung, denn es entsteht folgender Widerspruch:

Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems:
Das LGS wird auf Stufenform gebracht.
Da das LGS unterbestimmt ist, existieren mehrere Lösungen beziehungsweise eine Lösungsschar. Setze
Aus der zweiten Gleichung des LGS folgt
Dies zusammen mit und der ersten Gleichung ergibt:
Die Lösung kann in Vektorschreibweise dargestellt werden:
Dabei ist ein Parameter.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:
  • Löse das LGS:
  • Löse das LGS:
  • Löse das LGS:

Lösung zu Aufgabe 1

  • Das LGS wird auf Stufenform gebracht und man erhält die eindeutige Lösung .
  • Gesucht ist die Lösung von:

    Es wird versucht, das LGS in Stufenform zu bringen. Dafür wird Gleichung behalten und durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen und die Variable eliminiert:
    Gleichungen und werden behalten. Der Versuch durch Zeilenumformungen die Variable in Gleichung zu eliminieren liefert eine Trivialzeile:
    Das LGS ist folglich unterbestimmt.
  • Setze .

  • Aus folgt .
  • Gleichung liefert . Das LGS hat unendlich viele Lösungen. In Vektorschreibweise sind diese gegeben durch

  • Gesucht ist die Lösung von:

    Der Versuch, das LGS auf Stufenform zu bringen, liefert einen Widerspruch in Gleichung :
    Das LGS hat damit keine Lösung.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Im Baumarkt werden drei unterschiedliche Päckchen bestehend aus baugleichen Schrauben, Unterlegscheiben und Muttern verkauft. Im ersten Päckchen befinden sich 100 Schrauben, 50 Unterlegscheiben und 10 Muttern. Es wiegt . Das zweite Päckchen wiegt genau . Darin befinden sich 20 Muttern, 100 Unterlegscheiben und 69 Schrauben. Das dritte Päckchen wiegt und besteht aus jeweils 10 Schrauben, Unterlegscheiben und Muttern.

Bestimme jeweils das Gewicht der drei Bauteile.

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe kann als LGS formuliert werden. Hierfür werden zunächst Variablen eingeführt:

Das LGS hat die Form:
Das LGS wird auf Stufenform gebracht und anschließend werden nacheinander die Lösungen für die Variablen abgelesen. Man erhält , und .

Eine Schraube wiegt also , eine Unterlegscheibe und eine Mutter .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 04. 01. 2019