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Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lösungsverfahren

Merksatz

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) wird gelöst, indem man es durch Zeilenumformungen auf Stufenform bringt.

Beispiel

Gesucht sind die Lösungen des folgenden LGS:

Gleichung wird behalten. Durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen und die Variable eliminiert.
Gleichungen und werden behalten. Durch Zeilenumformungen wird in Gleichung die Variable eliminiert.
Jetzt hat das LGS Stufenform und es können nacheinander die Lösungen für , und abgelesen werden.

Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem (LGS)

Merksatz

Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem.

  • Eindeutige Lösung: Jede Unbekannte kann eindeutig und ohne Widerspruch gelöst werden (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich in genau einem Punkt).
  • Keine Lösung: Die Lösung enthält einen Widerspruch (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich nicht).
  • Lösungsschar: Es gibt mehrere Lösungen (Geometrische Interpretation: Objekte schneiden sich in einer Geraden oder Ebene).

Beispiel

Löse folgendes LGS:

Das LGS wird auf Stufenform gebracht und liefert eine eindeutige Lösung.

Beispiel

Gegeben ist folgendes LGS:

Das LGS hat keine Lösung, denn es entsteht folgender Widerspruch:

Beispiel

Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems:

Das LGS wird auf Stufenform gebracht.
Da das LGS unterbestimmt ist, existieren mehrere Lösungen beziehungsweise eine Lösungsschar. Setze
Aus der zweiten Gleichung des LGS folgt
Dies zusammen mit und der ersten Gleichung ergibt:
Die Lösung kann in Vektorschreibweise dargestellt werden:
Dabei ist ein Parameter.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

  • Löse das LGS:
  • Löse das LGS:
  • Löse das LGS:

Lösung zu Aufgabe 1

  • Das LGS wird auf Stufenform gebracht und man erhält die eindeutige Lösung .
  • Gesucht ist die Lösung von:

    Es wird versucht, das LGS in Stufenform zu bringen. Dafür wird Gleichung behalten und durch Zeilenumformungen wird in den Gleichungen und die Variable eliminiert:
    Gleichungen und werden behalten. Der Versuch durch Zeilenumformungen die Variable in Gleichung zu eliminieren liefert eine Trivialzeile:
    Das LGS ist folglich unterbestimmt.
  • Setze .

  • Aus folgt .
  • Gleichung liefert . Das LGS hat unendlich viele Lösungen. In Vektorschreibweise sind diese gegeben durch

  • Gesucht ist die Lösung von:

    Der Versuch, das LGS auf Stufenform zu bringen, liefert einen Widerspruch in Gleichung :
    Das LGS hat damit keine Lösung.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Im Baumarkt werden drei unterschiedliche Päckchen bestehend aus baugleichen Schrauben, Unterlegscheiben und Muttern verkauft. Im ersten Päckchen befinden sich 100 Schrauben, 50 Unterlegscheiben und 10 Muttern. Es wiegt . Das zweite Päckchen wiegt genau . Darin befinden sich 20 Muttern, 100 Unterlegscheiben und 69 Schrauben. Das dritte Päckchen wiegt und besteht aus jeweils 10 Schrauben, Unterlegscheiben und Muttern.

Bestimme jeweils das Gewicht der drei Bauteile.

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe kann als LGS formuliert werden. Hierfür werden zunächst Variablen eingeführt:

Das LGS hat die Form:
Das LGS wird auf Stufenform gebracht und anschließend werden nacheinander die Lösungen für die Variablen abgelesen. Man erhält , und .

Eine Schraube wiegt also , eine Unterlegscheibe und eine Mutter .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018