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Hypothesentest für die Normalverteilung

Hypothesentest für die Normalverteilung

Hypothesentest für die Normalverteilung

Gegeben:

  • (normalverteilte Zufallsvariable)
  • (Hypothese )
  • Erwartungswert , Standardabweichung
  • (Signifikanzniveau)

Gesucht:

  • (Entscheidungsregel)

    • **Fall 1: (Linksseitiger Hypothesentest). Finde zunächst ein mit . Dann gilt:

      Hieraus wird ermittelt. (Größte natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)
    • Fall 2: (Rechtsseitiger Hypothesentest). Finde zunächst ein mit . Dann gilt:

      Hieraus wird ermittelt. (Kleinste natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)

Aufgabe 1

Hans hat eine neue Anlage zur Fertigung von Spezialschrauben konstruiert. Hans behauptet, dass die Anlage maximal Ausschuss produziert. Gib eine Entscheidungsregel an, wenn diese Behauptung anhand einer Stichprobe von 200 Stück zu einem Signifikanzniveau von getestet werden soll.

Tipp: Approximiere die Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

Lösung zu Aufgabe 1

Da

kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.

Gesucht ist also das für das gilt

Falls oder mehr Schrauben als Ausschuss deklariert werden, ist die Behauptung von Hans falsch.

Es handelt sich um einen rechsseitigen Hypothesentest. Es wird für das Signifikanzniveau die rechtsseitige -Umgebung von betrachtet. Es gelten:

Falls oder mehr Schrauben als Ausschuss deklariert werden, ist die Behauptung von Hans falsch.

Aufgabe 2

Lena möchte ihrer Urgroßmutter zum 100. Geburtstag genau 100 Kekse schenken, die sie alle mit Lebensmittelfarbe mit einer beschreiben möchte. Ihr großer Bruder Mario ist sehr geschickt und hat Lena dafür eine kleine Maschine gebaut, die ihr das Beschriften abnehmen soll. Er erklärt, dass die Apparatur bei höchstens der Kekse nicht ganz richtig funktioniert. Gib eine Entscheidungsregel an, wenn diese Behauptung anhand der Stichprobe mit den 100 Keksen zu einem Signifikanzniveau von getestet werden soll.

Tipp: Approximiere die Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

Lösung zu Aufgabe 2

Da

kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Es handelt sich um einen rechsseitigen Hypothesentest und es wird für das Signifikanzniveau die rechtsseitige -Umgebung von betrachtet. Es gilt:
Es folgt:
Falls oder mehr Kekse von Lena als Ausschuss deklariert werden, ist die Behauptung von Mario nicht mehr haltbar.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018