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Zweiseitige Hypothesentests

Zweiseitige Hypothesentests

Was ist der Unterschied zu den anderen Testverfahren?

Im Gegensatz zu den anderen Testverfahren bei Hypothesentests gehört zur Nullhypothese nur genau eine Wahrscheinlichkeit und die Realität kann in beide Richtungen abweichen. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also auf beiden Seiten anzusetzen.

Wenn ist wie im nächststehenden Beispiel ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch und man kann die beiden Intervalle links und rechts als gleich groß ansetzen. Wenn allerdings ist wie im zweiten Beispiel ergibt dies wenig Sinn.
In diesem Fall wählt man die beiden Bereiche des Ablehnungsbereiches so, dass sich der Fehler . Art in etwa zur Hälfte auf die Intervalle links und rechts verteilt.

Tipp: Das erste Beispiel lässt sich auch auf die Normalverteilung übertragen.

Beispiel

In einer Münzprägeanstalt soll untersucht werden, ob die Gewichtsverteilungen der Münzen gleichmäßig sind. Wären sie es nicht, würde die Münze in die eine oder andere Richtung unfair werden.
Deshalb wirft man eine Münze hundert mal und zählt die Würfe, nach denen die Seite "Zahl" oben liegt.
Wenn das Ergebnis um mindestens vom Erwartungswert abweicht, glaubt man nicht an eine gleichmäßige Gewichtsverteilung. Es soll der Fehler . Art bestimmt werden. Dies entspricht dem Aufgabentyp aus den vorherigen Kapiteln.

Gegeben:

  • oder (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit )
  • (Stichprobenlänge)
  • und (Entscheidungsregel: Bis und ab wird abgelehnt.)

Gesucht:

  • (Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)

Es gilt:

Beispiel

Ein Präsidentschaftskandidat in den USA hat in der einem Monat zurück liegenden Umfrage einen Stimmenanteil von Prozent erzielt. Nun möchte er wissen, ob sich dieser Stimmenanteil verändert hat und er lässt 100 Menschen separat befragen. Er möchte den Fehler . Art, also dass er irrtümlich denkt, dass sich sein Anteil verändert hat, auf maximal Prozent festsetzen. Es soll die Entscheidungsregel bestimmt werden. Dies entspricht dem Aufgabentyp aus den vorherigen Kapiteln.

Gegeben:

  • oder (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit )
  • (Stichprobenlänge)

Gesucht:

  • und (Entscheidungsregel)

Es soll gelten:

und:
Jetzt kann man die Werte für und aus der entsprechenden Tabelle ablesen und erhält und .

Aufgabe 1

Zu einem Testverfahren werden folgende Angaben gemacht:

  • oder
  • (Stichprobenlänge)
  • und (Entscheidungsregel: Bis und ab wird abgelehnt.)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler . Art?

Lösung zu Aufgabe 1

Es handelt sich um einen zweiseitigen Test. Die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt:

Im Vergleich zu dem Beispiel in diesem Kapitel fällt auf, dass man nur ein ähnliches Signifikanzniveau erreicht. Die Stichprobe ist halb so groß, man könnte also erwarten, dass das Signifikanzniveau ähnlich wäre, wenn man auch die Entscheidungsregel halbiert, also und wählt. Dies ist aber nicht der Fall, man muss die Entscheidungsregel für ein ähnliches Signifikanzniveau bei kleinerem deutlich strenger wählen.

Aufgabe 2

Eine Fabrik produziert Nägel. In der Vergangenheit hat sich herausgestellt, dass zehn Prozent der hergestellten Nägel unbrauchbar waren. Aus diesem Grund hat man das Herstellungsverfahren revolutioniert und möchte nun wissen, ob sich der Anteil der unbrauchbaren Nägel verändert hat.

Man möchte einen Fehler . Art, also dass man irrtümlich denkt, dass sich der Anteil verändert hat, auf fünf Prozent festsetzen und untersucht aus diesem Grund eine Stichprobe von Nägeln.

  1. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler . Art, wenn der Anteil der unbrauchbaren Nägel in Wirklichkeit auf fünf Prozent gesunken ist?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Gegeben:
  • oder (Also: Zweiseitiger Hypothesentest mit )
  • (Stichprobenlänge)

Gesucht:

  • und (Entscheidungsregel)

Es soll gelten:

und:
Jetzt kann man die Werte für und aus der entsprechenden Tabelle ablesen und erhält und .
  1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler . Art berechnet sich mit und dem Annahmebereich von :
    Wenn sich der Anteil der unbrauchbaren Nägel also auf fünf Prozent verringert hat, wird man dies mit einer Wahrscheinlichkeit von circa nicht bemerken.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018