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Baumdiagramme

Baumdiagramme

Merksatz

Rechenregeln in einem Baumdiagramm:

  • Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert, der zu dem Ergebnis führt.
  • Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, so werden die Ergebniswahrscheinlichkeiten der betreffenden Pfade addiert.

Im Prinzip lässt sich jedes mehrstufige Wahrscheinlichkeitsproblem durch ein Baumdiagramm lösen, allerdings eignen sich Baumdiagramme nur für einfachere Probleme, weil sie sehr schnell sehr unübersichtlich werden.

Beispiel

In einer Urne befinden sich zwei weiße und zwei schwarze Kugeln.

  • Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Das Baumdiagramm dafür sieht wie folgt aus:
  • Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Das Baumdiagramm dafür sieht wie folgt aus:

    Betrachte das Ereignis
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt
    • beim Ziehen mit Zurücklegen:
    • beim Ziehen ohne Zurücklegen:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

In einer Urne befinden sich fünf blaue, drei rote und zwei gelbe Kugeln.

  1. Es werden nacheinander drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Kugeln verschiedene Farben haben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die gleiche Farbe haben?
  2. Ohne Zurücklegen werden drei Kugeln gezogen.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Kugeln verschiedene Farben haben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die gleiche Farbe haben?

Lösung zu Aufgabe 1

In beiden Teilaufgaben interessieren die beiden folgenden Ereignisse:

Für die Wahrscheinlichkeiten und gilt:
  1. Zuerst wird mit Zurücklegen gezogen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei lassen sich alle mit unterschiedlicher Reihenfolge der gleichen Faktoren berechnen. Hier ein Beispiel:
    Damit lässt sich dann berechnen:
    Für gilt:
  2. Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird ähnlich gerechnet. Dort gilt
    Ändert man die Reihenfolge von , und , so ändert sich die Zugehörigkeit zu diesem Ereignis nicht. Es folgt:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Kevins Mutter arbeitet in einer Fabrik für Überraschungseier. Eines Abends bringt sie 10 Überraschungseier mit nach Hause. Sie weiß, dass sich in drei der Eier ein Bausatz, in zwei der Eier ein kleines Puzzle und in den restlichen Eiern eine Spielfigur befinden.

Kevin darf sich dreimal nacheinander ein Ei nehmen und öffnen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. Alle Überraschungen sind vom Typ her verschieden.
  2. Alle Überraschungen sind vom Typ her gleich.
  3. Die ersten beiden Eier enthalten jeweils eine Spielfigur.
  4. In keinem Ei ist eine Spielfigur.
  5. Genau zwei aufeinanderfolgende Eier enthalten jeweils eine Spielfigur.
  6. Keines der gewählten Eier enthält ein Puzzle.

Lösung zu Aufgabe 2

Beim Nehmen und Öffnen der Überraschungseier handelt es sich um dreimaliges Ziehen ohne Zurücklegen (mit Beachtung der Reihenfolge). Ein Ei, das einen Bausatz enthält wird genannt, ein Ei mit einem Puzzle und diejenigen mit einer Spielfigur . Für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse gilt:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: ***

Auf einem Tisch stehen zwei Urnen und , in denen sich Kugeln folgender Farben befinden:

Aus werden zwei Kugeln entnommen und in gelegt. Daraufhin wird eine Kugel aus entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogene Kugel\dots
  1. grün ist.
  2. weiß ist.
  3. schwarz ist.

Lösung zu Aufgabe 3

Da zwei der Kugeln von in umgelegt werden, befinden sich in zum Zeitpunkt der Ziehung Kugeln. Zuerst werden die Wahrscheinlichkeiten für die Ziehungen in berechnet. Dabei gilt beim Ziehen ohne Zurücklegen:

  1. Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die gezogene Kugel grün ist: Da sich in keine grünen Kugeln befanden, sind zwei der acht Kugeln grün. Also gilt für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
  2. Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die gezogene Kugel weiß ist: Da sich auch zwei weiße Kugeln in befanden, werden nun alle Möglichkeiten durchgespielt und folgendes gerechnet:
  3. Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die gezogene Kugel schwarz ist: Da sich auch zwei schwarze Kugeln in befanden, werden nun alle Möglichkeiten durchgespielt und folgendes gerechnet:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: ***

In einer Umfrage unter Schülern soll herausgefunden werden, wer schon einmal bei einer Klassenarbeit beim Nachbarn abgeschrieben hat. Um den Schülern möglichst viel Anonymität zu gewährleisten, verläuft die Umfrage wie folgt:

Aus einer Urne mit vier schwarzen, drei weißen und einer gelben Kugel zieht die befragte Person eine Kugel (mit Zurücklegen). Dabei erfährt nur die Person selbst die Farbe der Kugel. Wird eine schwarze Kugel gezogen, so antwortet man pauschal mit nein. Wird eine weiße Kugel gezogen, so antwortet man pauschal mit ja. Wird die gelbe Kugel gezogen, so wird wahrheitsgemäß geantwortet. Es werden insgesamt 3000 Schüler nach diesem Verfahren befragt. Davon antworten genau 1457 mit ja. Gib eine möglichst präzise Schätzung, wie viel Prozent aller Schüler schon einmal abgeschrieben haben.

Bei der Lösung soll davon ausgegangen werden, dass sich alle Befragten an die Regeln der Umfrage halten.

Lösung zu Aufgabe 4

  • Schritt 1: Zuerst wird berechnet bei wie vielen Schülern erwartet wird, dass sie aufgrund einer weißen Kugel mit ja antworten:
  • Schritt 2: Mit dem gleichen Rechenweg wird berechnet, von wie vielen Schülern erwartet wird, dass sie wahrheitsgemäß antworten:
  • Schritt 3: Um zu erfahren wie viele der ja's tatsächlich "echte" ja's waren, wird folgende Subtraktion durchgeführt:
  • Schritt 4: Von den Schülern, die wahrheitsgemäß geantwortet haben, lässt sich damit der Anteil an Schülern bestimmen, der angegeben hat schon einmal abgeschrieben zu haben:

Es haben ungefähr aller Schüler schon einmal bei ihrem Nachbarn abgeschrieben.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018