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Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung wird auch Urnenmodell genannt.

Merksatz

In einer Urne liegen rote und schwarze Kugeln. Es werden nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln genau rote Kugeln sind, beträgt

Beispiel

In einer Klasse von 30 Schülern sind 12 Mädchen. Es werden 6 Schüler zufällig ausgewählt. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass genau 4 der gewählten Schüler Mädchen sind.

Entsprechend des Urnenmodells (schwarz=Junge, rot=Mädchen) gilt:

Mit der Formel folgt:
Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen genau 4 Mädchen sind, .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Kevins Mutter hat diesmal 20 Überraschungsseier aus der Fabrik "mitgebracht" Sie weiß, dass in genau 8 Eiern eine Spielfigur ist. Kevin darf sich 5 Eier aussuchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. Alle ausgesuchten Eier enthalten eine Spielfigur.
  2. In genau zwei Eiern ist eine Spielfigur.
  3. In mindestens einem Ei ist eine Spielfigur.
  4. In höchstens 3 Eiern ist eine Spielfigur.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass in allen 5 Eiern eine Spielfigur ist, beträgt gerade einmal .
  2. Hier lässt sich die Formel des Urnenmodells anwenden mit , , und . Es folgt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Spielfiguren dabei sind, beträgt knapp .
  3. Hier kann man mit dem Gegenereignis arbeiten und stattdessen die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass in keinem Ei eine Spielfigur ist:
    Mit fast -iger Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Spielfigur dabei.
  4. Auch hier kann man das Gegenereignis betrachten und berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 4 oder 5 Spielfiguren gezogen werden. Der Fall von 5 Figuren wurde in Teil (a) berechnet. Für 4 Figuren kann man wieder die Formel des Urnenmodells mit den Werten , , und anwenden. Es folgt:
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von gut sind in höchstens 3 Eiern Spielfiguren.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Ein Mathematiker möchte seiner Holden einen Strauß Rosen mit nach Hause bringen und kommt an ein Blumengeschäft, vor dem eine Vase mit 20 roten und 10 weißen Rosen steht. Nun tut er das, was jeder vernünftige Mensch in seiner Situation tut: Er berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass sein Strauß aus vier roten und drei weißen Rosen besteht, die er zufällig auswählt.
Wie groß ist diese?

Lösung zu Aufgabe 1

Da er die Rosen nicht wieder zurücklegt nach dem Ziehen (sonst würde seine Holde ja nichts bekommen) und ihm die Reihenfolge des Ziehens nicht wichtig ist (er könnte auch mit einem Griff ziehen), berechnet sich die Wahrscheinlichkeit über die Formel "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Er wählt insgesamt sieben aus 30 Rosen aus:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018