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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Merksatz

Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung/Voraussetzung eines Ereignisses schreibt man oder alternativ . Es gilt die Formel:

Beispiel

In einer Schulklasse befinden sich Jungen und Mädchen Dabei sind der Jungs und der Mädchen blond. Für die Ereignisse (Schüler ist ein Junge) und (Schüler ist blond) gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Junge blond ist, beträgt
Dieses Ergebnis ist nicht verwunderlich, denn .

Die Wahrscheinlichkeit, dass hingegen ein zufällig ausgewählter blonder Schüler ein Junge ist, beträgt

Auch dieses Ergebnis ist nicht verwunderlich, denn .

Aufgabe 1

Gegeben sind die Ereignisse:

  • [:] Karola wird schwanger.
  • [:] Karola hat verhütet.
  • [:] Es ist Vollmond.

Ordne die Ausdrücke , , , den folgenden Fragestellungen zu.

  1. Es ist Vollmond. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass Karola schwanger wird.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird und es Vollmond ist.
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Karola trotz Verhütung schwanger wird.
  4. Karola ist schwanger. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass Karola verhütet hat.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird, lautet unter der Bedingung, dass Vollmond ist:
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird und Vollmond ist, lautet:
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola schwanger wird, lautet unter der Bedingung, dass sie verhütet hat:
  4. Die Wahrscheinlichkeit, dass Karola verhütet hat, lautet unter der Bedingung, dass sie schwanger ist:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: ***

Max macht gerade ein Auslandsjahr in Shanghai und möchte dort einen Marathon laufen. Dazu muss er so oft es geht trainieren. Leider erreicht die Luftverschmutzung in Shanghai an Tagen im Jahr solch hohen Werte, dass vom Sporttreiben an der "frischen" Luft dringend abgeraten wird. Bevor Max losläuft, konsultiert er daher immer die Vorhersage für die Luftverschmutzung an diesem Tag. Erfahrungen zufolge ist die Vorhersage mit einer Wahrscheinlichkeit von korrekt. Mit sei das Ereignis bezeichnet, dass die Luftverschmutzung zu hoch ist, um Sport zu treiben. Mit sei das Ereignis bezeichnet, dass die Vorhersage vom Sporttreiben abrät.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag die Luftverschmutzung zu hoch ist, um Sport zu treiben.
  2. Berechne und .
  3. Ermittle hieraus .
  4. Interpretiere die Bedeutung des in der vorherigen Teilaufgabe bestimmten Wertes. Erkläre, wie dieser Wert zustanden kommen kann.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Aus den Angaben des Textes kann man ablesen:
  2. Laut Aufgabenstellung ist die Vorhersage zu korrekt. Dies bedeutet: Gibt es starke Luftverschmutzung, so sagt die Vorhersage mit -iger Wahrscheinlichkeit auch eine starke Luftverschmutzung vorher. Gibt es keine Luftverschmutzung, so gibt es mit -iger Wahrscheinlichkeit auch keine Vorhersage dafür. Somit lassen sich direkt aus der Aufgabenstellung folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmen:
    Geht man jeweils zum Gegenereignis über, so erhält man noch die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
    Nun lassen sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen:
    Weiter gilt:
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag die Prognose hohe Luftverschmutzung vorhersagt, ist
    Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt damit:
  4. Die Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass es an einem Tag, für den hohe Luftverschmutzung vorausgesagt wurde, trotzdem mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. möglich ist, Sport zu treiben. Aus gesundheitlichen Gründen sollte Max an solchen Tagen trotzdem auf sein Training verzichten. Es mag auf den ersten Blick jedoch überraschen, dass die Vorhersage von hoher Luftverschmutzung nur in der Fälle auch eintritt. Dies erklärt sich dadurch, dass den Tagen mit Luftverschmutzung eine deutlich größere Anzahl an Tagen mit klarer Luft entgegen steht. Betrachtet man nur diese Tage, bedeutet die Ungenauigkeit der Vorhersage von , dass an
    Tagen fälschlicherweise hohe Luftverschmutzung vorhergesagt wird. Dies sind fast genauso viele wie die Anzahl der Tage mit tatsächlicher Luftverschmutzung.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Peter hat seiner Lebenszeit Hunger. In seiner Lebenszeit knurrt sein Magen. Wenn sein Magen knurrt, dann hat er in aller Fälle auch Hunger.
Peter ist jetzt hungrig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sein Magen knurrt.

Lösung zu Aufgabe 3

Mit den Ereignissen (Peter ist hungrig) und (Peters Magen knurrt) ist gegeben:

Mit der Formel von Bayes kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden:
Ist Peter hungrig, dann knurrt sein Magen mit einer Wahrscheinlichkeit von .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018