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Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Merksatz

Die Standardform einer ganzrationalen Funktion ist gegeben durch:

  • Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome.
  • Die höchste auftretende Potenz heißt Grad der Funktion , kurz: .
  • Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens Nullstellen.
Um das Verhalten im Unendlichen zu untersuchen, muss lediglich der Term mit der höchsten Potenz herangezogen werden (Vorzeichen beachten).
  • Geht der Term gegen , geht gegen .
  • Geht der Term gegen , geht gegen .

Beispiel

Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion vom Grad . Also kann maximal drei Nullstellen haben. Im Schaubild kann man erkennen, dass der Graph von genau einen Schnittpunkt mit der -Achse hat und die Funktion somit genau eine Nullstelle.

Für das Verhalten im Unendlichen wird der Term der höchsten Potenz untersucht, also .
  • Für geht , also .
  • Für geht , also .

Das Verhalten im Unendlichen lässt sich zudem am Graphen der Funktion ablesen.

Aufgabe 1

Bestimme den Grad der folgenden ganzrationalen Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 1

Es gelten:

Aufgabe 2

Gib ohne Rechnung eine ganzrationale Funktion dritten Grades an, die eine einfache Nullstelle bei und eine zweifache Nullstelle bei hat.

Lösung zu Aufgabe 2

Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass die Gleichung der Funktion mindestens aus den Faktoren besteht, da beides Nullstellen sind. Betrachtet man nun die Vielfachheit, so fällt auf, dass der Term quadratisch vorkommen muss, man erhält also:

Dies ist allerdings nicht die einzige mögliche Lösung. Möglich wäre zum Beispiel auch

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

  1. Warum ist eine ganzrationale Funktion?
  2. Was ist der Grad von ?
  3. Was sind die Nullstellen von ?
  4. Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Ausmultiplizieren des Terms liefert die Standardform einer ganzrationalen Funktion:
  2. Der Grad von ist 3.
  3. Zur Bestimmung der Nullstellen verwendet man am besten die ursprüngliche Darstellung. Mit dem Satz vom Nullprodukt kann direkt abgelesen werden: , , .
  4. Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz von maßgeblich. Betrachte also :

    • Für geht , also
    • Für geht , also

Aufgabe 4

Entscheide, welche der folgenden Funktionen hier jeweils graphisch dargestellt ist. Begründe deine Entscheidung.



Lösung zu Aufgabe 4

  1. Wenn man den -Achsenabschnitt betrachtet, fällt auf, dass dieser bei liegt. Das Absolutglied muss also betragen. Damit ist im Schaubild nicht der Graph der Funktion abgebildet. Der Graph ist symmetrisch zur -Achse. Die Exponenten müssen also alle gerade sein, weswegen im Schaubild nicht der Graph von der Funktion abgebildet ist. Folgende Funktionen sind also noch übrig:

    Da der Graph der Funktion drei Extrempunkte -- zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt -- besitzt, muss der Grad mindestens betragen. Damit bleibt nur noch die Funktion übrig. Im Schaubild ist also der Graph der Funktion
    abgebildet.
  2. Da der -Achsenabschnitt beträgt, muss das Absolutglied sein. Damit ist im Schaubild nicht der Graph der Funktion abgebildet. Wie man am Schaubild erkennen kann, hat die Funktion zwei Extrempunkte und einen Sattelpunkt. Die Ableitung der dargestellten Funktion muss also mindestens drei Nullstellen haben. Der Grad dieser Funktion ist also mindestens . Wenn aber nun die Ableitung mindestens Grad hat, muss die Funktion selbst mindestens Grad haben und damit entfällt . Folgende Funktionen sind also noch übrig:

    Als letzten Schritt betrachtet man die Schnittpunkte mit der -Achse. Diese muss man hier nicht zwingend ausrechnen. Es genügt, zu überlegen, wie viele Nullstellen die beiden Funktionen haben. Eine der beiden Funktionen muss die Funktion auf dem Schaubild sein, und daher drei Nullstellen haben. Die Nullstellen von sind gegeben durch:
    Wie man sieht, hat nur eine Nullstelle. Im Schaubild ist also der Graph der Funktion
    abgebildet.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018