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Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man mit der Mitternachtsformel (oder ABC-Formel) berechnen:

Diskriminante

Der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht, also , heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung .

Mithilfe der Diskriminante sieht man, wie viele Lösungen die zugehörige quadratische Gleichung hat:

  • Ist die Diskriminante , so gibt es zwei Lösungen.
  • Ist die Diskriminante , so gibt es genau eine Lösung.
  • Ist die Diskriminante , so gibt es keine Lösung.

Beispiel

Die Lösungen der Gleichung sind gegeben durch:

Die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel genannt) ist eng mit der --Formel verwandt. Beide dienen zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Aufgabe 1

Bestimme jeweils die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Entscheide dann, ob die Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Die konkrete Lösung der Gleichung muss nicht bestimmt werden.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also keine Lösung.
  2. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
  3. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also keine Lösung.
  4. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
  5. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

Aufgabe 2

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben sind die Funktionen und mit und .
Berechne die Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 3

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der Mitternachtsformel: .
Da laut der Aufgabenestellung Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden.
Setze hierfür und entweder in die Gleichung für oder ein. Es gelten:
Die beiden Schnittpunkte der Graphen von und sind somit gegeben durch:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 4

Die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

  • Wende die Mitternachtsformel an. Hierbei gelten: , und :

    Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:
    • genau eine Lösung.
    • zwei Lösungen.
    • keine Lösung.

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben sind die Funktionen und durch und .

Berechne die Schnittpunkte der Graphen von und .

Lösung zu Aufgabe 5

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der Mitternachtsformel liefert und . Da laut Aufgabenstellung die Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen nun noch die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden. Hierfür und entweder in die Gleichung von oder einsetzen. Es gelten:
Die Schnittpunkte der Graphen von und sind damit gegeben durch:

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 6

Die Anzahl Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

Wende die Mitternachtsformel an. Hierbei gelten: , und :

Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:
  • genau eine Lösung.
  • zwei Lösungen.
  • keine Lösung.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018