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Grundlagen

Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Erklärung

Einleitung

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du quadratische Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel löst.

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Was ist eine quadratische Gleichung?

Bevor wir mit dem Lösen quadratischer Gleichungen loslegen, möchten wir dich daran erinnern, was eine quadratische Gleichung überhaupt ist.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

Dabei ist die Unbekannte und , und bekannte Koeffizienten. Den Ausdruck im Merkkasten nennt man auch eine quadratische Gleichung allgemeiner Form.

Die Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man mit der Mitternachtsformel (oder ABC-Formel) berechnen:

Die Lösungen der Gleichung sind gegeben durch:

Die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel genannt) ist eng mit der pq-Formel verwandt. Beide dienen zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Was ist die Diskriminante?

Der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht, also , heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung . Mithilfe der Diskriminante sieht man, wie viele Lösungen die zugehörige quadratische Gleichung hat:
  • Ist die Diskriminante , so gibt es zwei Lösungen.
  • Ist die Diskriminante , so gibt es genau eine Lösung.
  • Ist die Diskriminante , so gibt es keine Lösung.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Entscheide dann, ob die Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Die konkrete Lösung der Gleichung muss nicht bestimmt werden.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also keine Lösung.
  2. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
  3. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also keine Lösung.
  4. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
  5. Es gelten:
    und damit
    Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und mit und .
Berechne die Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 3

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der Mitternachtsformel: .
Da laut der Aufgabenestellung Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden.
Setze hierfür und entweder in die Gleichung für oder ein. Es gelten:
Die beiden Schnittpunkte der Graphen von und sind somit gegeben durch:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 4

Die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

  • Wende die Mitternachtsformel an. Hierbei gelten: , und :

    Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:
    • genau eine Lösung.
    • zwei Lösungen.
    • keine Lösung.

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und durch und .

Berechne die Schnittpunkte der Graphen von und .

Lösung zu Aufgabe 5

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden zunächst die Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt:

Anwendung der Mitternachtsformel liefert und . Da laut Aufgabenstellung die Schnittpunkte berechnet werden sollen, müssen nun noch die Funktionswerte zu den beiden -Werten bestimmt werden. Hierfür und entweder in die Gleichung von oder einsetzen. Es gelten:
Die Schnittpunkte der Graphen von und sind damit gegeben durch:
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Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Funktionenschar durch

Der Graph der Funktion heißt . Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von mit der -Achse in Abhängigkeit von .

Lösung zu Aufgabe 6

Die Anzahl Schnittpunkte von mit der -Achse entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung :

Wende die Mitternachtsformel an. Hierbei gelten: , und :

Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab:
  • genau eine Lösung.
  • zwei Lösungen.
  • keine Lösung.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 18. 01. 2019