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Schattenpunkte

Schattenpunkte

Rezept

Fall 1: Aufgabe mit Schatten einer punktförmigen Lichtquelle (Lampe).

Schritte
  • Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, verbinden.
  • Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.

Fall 2: Aufgabe mit Schatten einer weit entfernten Lichtquelle (Sonne).

Schritte
  • Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, die durch die Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, gehen und in Richtung der Sonnenstrahlen verlaufen.
  • Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.

Beispiel

Im Punkt befindet sich eine Lampe. Gesucht ist der Schattenpunkt des Punktes auf der - Ebene.

Hilfsgerade aufstellen

Eine Gleichung der Hilfsgeraden durch und lautet:

Bestimmung des Schnittpunktes

Die -Ebene hat die Darstellung . Für die Ermittlung des Schnittpunktes dieser Ebene mit setze:

Damit gilt für den Schattenpunkt :
Also lautet der gesuchte Schattenpunkt .

Aufgabe 1

Nils ist bei seinem Onkel Hubert zu einem Dia-Abend eingeladen. Zum Glück dauert die langweilige Show nicht allzu lange, so dass sich Nils den Projektor genauer anschauen kann. Er stellt sich vor, dass die Lampe des Projektors im Ursprung liegt. Die Ecken eines Dias befinden sich dann an den Punkten , , und . Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte der Projektion auf die Ebene . Eine Längeneinheit entspricht . Berechne den Vergrößerungsfaktor.

Lösung zu Aufgabe 1

Stelle zunächst die Hilfsgeraden auf und schneide diese mit der Ebene

Das Dia hat eine Kantenlänge in -Richtung von . Die Projektion hat eine Kantenlänge in -Richtung von . Der Faktor der Vergrößerung beträgt genau 40. Dies spiegelt sich in dieser Situation auch im Faktor wider.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **-***

In einem Freibad befindet sich eine leicht schiefe Liegewiese. Diese hat eine viereckige Form und wird durch die Ecken begrenzt. Das anschließende Schwimmbecken wird durch die Punkte begrenzt. Um die Badegäste im Hochsommer vor der starken Sonneneinstrahlung zu schützen, wird ein dreieckiges Segeltuch an umgrenzenden Gebäuden aufgespannt. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind dabei . Die Sonne scheint in Richtung

Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
  1. Fertige eine Skizze der Liegewiese und des Schwimmbads in einem geeigneten Koordinatensystem an und zeige, dass die Liegewiese eine rechteckige Form hat. Berechne den Flächeninhalt und den Steigungswinkel der Liegewiese.
  2. Zeige, dass der Schatten des Segeltuchs ein rechtwinkliges Dreieck ist und nicht über die Liegewiese hinausragt. Bestimme zudem den Anteil der sonnengeschützten Fläche der Liegewiese.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Skizze (inklusive Sonnensegel):
    Um zu zeigen, dass die Liegewiese rechteckig ist, genügt es zu zeigen, dass der Winkel an und an jeweils beträgt. Es gilt:
    Somit beträgt der Innenwinkel an der Ecke genau . Weiter gilt:
    Somit ist auch der Innenwinkel an der Ecke ein rechter Winkel. Also muss das Viereck ein Rechteck sein. Der Flächeninhalt wird berechnet, indem die Länge des Vektors mit der Länge des Vektors multipliziert wird:
    Der Flächeninhalt beträgt also:
    Als nächstes wird der Steigungswinkel der Liegewiese bestimmt. Eine Parametergleichung der Ebene , in welcher die Liegewiese liegt, ist gegeben durch:
    Durch Umformung erhält man die Koordinatengleichung der Ebene als:
    Der Steigungswinkel ist der spitze Winkel zwischen der Ebene , in welcher die Liegewiese liegt und der -Ebene. Die Koordinatenformen dieser Ebenen lauten:
    Der spitze Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Es folgt:
  2. Zunächst werden die Schattenpunkte auf der Liegewiese berechnet. Die Hilfsgeraden durch die Punkte , und lauten:
    Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene , in der sich die Liegewiese befindet. Durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung werden Schnittpunkte für , und erhalten, also sind die Schattenpunkte auf der Liegewiese:
    Im Punkt liegt der rechte Winkel des Dreiecks vor, denn
    Für alle Punkte auf der Liegewiese gilt:
    Da diese Bedingungen erfüllen, ragt das Dreieck nicht über die Liegewiese hinaus. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt
    Der Anteil an der Gesamtfläche beträgt dann:
    Also liegen ungefähr der Liegewiese im Schatten.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018