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Vektorrechnung (Grundlagen)

Vektorrechnung (Grundlagen)

Addition und Länge

Merksatz

  • Zwei Vektoren werden rechnerisch addiert, indem jede Komponente der Vektoren einzeln addiert wird:

  • Geometrisch werden zwei Vektoren addiert, indem man den Schaft eines Vektors an die Spitze des anderen Vektors verschiebt.

    Der Vektor ist dabei der direkte Weg, den man erhält, wenn man zunächst entlang und dann entlang (oder umgekehrt) geht.
  • Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten und ist:

  • Die Länge eines Vektors berechnet man wie folgt:

Beispiel

Um den Abstand der Punkte und zu bestimmen, wird zunächst der Verbindungsvektor zwischen diesen Punkten aufgestellt:

Der Abstand zwischen und entspricht der Länge des Vektors und berechnet sich wie folgt:

Skalarmultiplikation

Merksatz

  • Ein Skalar ist eine reelle Zahl.
  • Vektoren werden mit Skalaren wie folgt multipliziert:

  • Graphisch wird der Vektor dabei gestreckt.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Die Punkte sind die Ecken eines Parallelogramms, bei dem die Punkte und und die Punkte und sich jeweils gegenüberliegen.

  1. Berechne die Koordinaten von Punkt .
  2. Berechne die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms.
  3. Allgemein gilt für ein Parallelogramm mit den Seitenlängen und und den Längen und der Diagonalen:
    Bestätige diese Formel beispielhaft mit dem gegebenen Parallelogramm.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Gegeben sind die Koordinaten der Punkte . Gesucht sind die Koordinaten des Punktes . Die Koordinaten des Punktes lassen sich wie folgt bestimmen:

    Der Punkt hat die Koordinaten .
  2. Die Diagonalen des Parallelogramms sind

    Für die Länge der Diagonalen ergibt sich
  3. Um die Formel

    anhand des gegebenen Parallelogramms beispielhaft zu überprüfen, werden zunächst die Seiten und des Parallelogramms bestimmt.
    Es können nun die dazugehörigen Seitenlängen berechnet werden:
    Nun kann die Formel durch Einsetzen überprüft werden:
    Damit wurde die Formel beispielhaft an diesem Parallelogramm bestätigt.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Auf einer Messe wird ein Tanzroboter vorgeführt. Dieser soll als verlässlicher Tanzpartner zu Trainingszwecken in Tanzschulen eingesetzt werden. Beim Robo-Tanz verfügt der Tanzroboter über folgende Tanzschritte:

  • Tanzschritt : Einen Schritt von Länge nach rechts
  • Tanzschritt : Einen Schritt von Länge nach links
  • Tanzschritt : Einen Schritt von Länge nach vorne
  • Tanzschritt : Einen Schritt von Länge nach hinten
  • Tanzschritt : Einen diagonalen Schritt mit vor und nach rechts. Der Roboter ist auf folgende Schrittfolge programmiert:
  1. Ermittle, wie weit der Tanzroboter nach dieser Schrittfolge von seinem Startpunkt entfernt ist.
  2. Der Tanzroboter tanzt auf einer rechteckigen Fläche. Bestimme den minimalen Platzbedarf, den er für diese Schrittfolge benötigt.

  3. Es soll eine zweite Schrittfolge programmiert werden, die mit Schritt beginnt und exakt am Ausgangspunkt endet. Kläre, ob eine solche Schrittfolge möglich ist. Falls ja, gib eine solche an.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst werden die Tanzschritte als Vektoren geschrieben. Beachte dabei, dass die Vektoren nur zwei Einträge haben, da der Roboter nicht hüpft:

  1. Um die Entfernung des Roboters vom Ausgangspunkt festzustellen, muss zunächst ermittelt werden, wo sich der Roboter am Ende der Schrittfolge befindet. Sei der Ausgangspunkt, dann ist der Zielpunkt gegeben durch

    Es gilt:
    Die Entfernung vom Startpunkt beträgt folglich .
  2. Ausgehend von der Startposition werden alle Positionen des Roboters berechnet.

    Nun kann man die maximale Entfernung des Roboters vom Startpunkt ablesen. In -Richtung ist die Position, die am weitesten rechts ist
    Die Position am weitesten vorne, also in -Richtung ist
    Die rechteckige Tanzfläche für den Roboter muss mindestens (-Richtung) mal (-Richtung) groß sein.
  3. Um festzustellen, ob eine solche Schrittfolge existieren kann, überlegt man sich, ob eine Kombination der Vektoren den Zielpunkt erreicht, in der mindestens einmal der vorkommt.

    Da nach vorne rechts geht, werden die Schritte und betrachtet. Gesucht sind also ganzzahlige, positive Werte der Parameter , so dass gilt:

    Das bedeutet, dass der Roboter wieder am Punkt ist, nachdem er diagonale Schritte, Schritte nach hinten und Schritte nach rechts getanzt ist. Einsetzen liefert:
    Das dazugehörige LGS lautet
    und hat unendlich viele Lösungen. Umstellen zeigt, dass
    gelten muss. Nun kann , die Anzahl der diagonalen Schritte so gewählt werden, dass und ganzzahlig sind. Eine mögliche Lösung lautet , , .

    Die dazugehörige Tanzfolge könnte so:

    oder so:
    aussehen. Viel Spaß beim Nachtanzen!

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Berechne für folgende Vektoren diejenigen Vektoren, die dieselbe Richtung haben, aber normiert sind.

Lösung zu Aufgabe 3

Wir bezeichnen den Einheitsvektor zum Vektor mit . Dann gelten:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Eine -förmige Antenne besteht aus einem vertikalen und einem horizontalen Antennenstück. Die Antenne ist am Bodenpunkt verankert und fünf Längeneinheiten hoch. Das obere horizontale Antennenstück ist mittig auf dem vertikalen Antennenstück befestigt, fünf Längeneinheiten lang und zeigt in Richtung

  1. Bestimme die Koordinaten des Auflagepunktes, auf dem das horizontale Antennenstück auf dem vertikalen Antennenstück liegt.
  2. Bestimme die Koordinaten der beiden Enden des horizontalen Antennenstücks.
  3. Fertige eine Skizze der Antenne an.

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Um den Auflagepunkt des horizontalen Antennenstücks zu bestimmen, bewegt man sich vom Bodenpunkt fünf Längeneinheiten nach oben

    Das obere Stück liegt also am Punkt auf.
  2. Der Vektor hat die Länge fünf, denn

    Die Endpunkte des oberen Antennenstücks bestimmt man, indem man einen Vektor der Länge einmal in Richtung und einmal in die entgegengesetzte Richtung auf den Punkt addiert. Auf diese Weise erhält man
    Die beiden Endpunkte der Antenne sind also und .
  3. Eine Skizze der Situation ist unten dargestellt:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018