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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen

Merke

Die Standardform einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

  • Die Graphen von Potenzfunktionen verlaufen immer durch den Punkt .
  • Aus den Potenzfunktionen können durch elementare Verknüpfungen die ganzrationalen Funktionen, die gebrochenrationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen gebildet werden.
  • Je nach Exponent können die Graphen von Potenzfunktionen sehr unterschiedliche Gestalt besitzen.

Hinweis:

Die drei wichtigsten Untergruppen von Potenzfunktionen werden in den folgenden Merkkästen untersucht.


Tipp: Oft wird in Büchern die Standardform einer Potenzfunktion definiert als . In diesem Artikel betrachten wir nur den Fall , alle Streckungen und Verschiebungen werden in späteren Abschnitten erklärt.

Parabeln n-ter Ordnung

Die einfachsten Potenzfunktionen sind solche mit positiven ganzzahligen Exponenten, also

Ihre Graphen nennt man Parabeln -ter Ordnung.

  • Parabelfunktionen sind auf ganz definiert.
  • Für gilt .
  • Je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade ist, liegt ein Parabelast im zweiten oder dritten Quadranten, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von
    erkennen kann.
    Entsprechend ergibt sich der Grenzwert für .

Tipp: Die einfachste Parabel erster Ordnung ist die Funktion . Der Graph entspricht der ersten Winkelhalbierenden.

Hyperbeln n-ter Ordnung

Hyperbelfunktionen -ter Ordnung sind Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten. Man kann sie auch schreiben als
  • Hyperbelfunktionen -ter Ordnung sind für definiert.
  • Für gilt .
  • Je nachdem ob gerade oder ungerade ist, liegt ein Hyperbelast im zweiten oder dritten Quadranten, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von
    sehen kann.

Hyperbeln -ter Ordnung besitzen zwei Arten von Asymptoten. Als Asymptoten bezeichnet man Geraden, denen sich der Funktionsgraph für bestimmte Bereiche des Definitionsbereiches annähert. Alle nicht verschobenen Hyperbeln -ter Ordnung besitzen die -Achse als senkrechte Asymptote und die -Achse als waagerechte Asymptote. Man sagt auch, dass die hier betrachteten Funktionen eine Polstelle bei besitzen.

Tipp: Wenn man Hyperbelfunktionen verschiebt, verschieben sich ihre Asymptoten einfach auf die gleiche Art und Weise mit. Dementsprechend kann man auch das Verhalten im Unendlichen von verschobenen Hyperbeln leicht berechnen.


Elementare Wurzelfunktionen

Elementare Wurzelfunktionen kann man darstellen als
  • Elementare Wurzelfunktionen sind nur für gerade nur für , für ungerade aber auf ganz definiert.
  • Für gilt .
  • Je nachdem ob gerade oder ungerade ist, haben elementare Wurzelfunktionen einen oder zwei Äste, wie man im folgenden Schaubild an den Funktionsgraphen von
    sehen kann.

Elementare Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen von Parabelfunktionen.


Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018