Erklärung
Einleitung
Eine Ebene ist ein geometrisches Objekt im dreidimensionalen Raum und kann unterschiedlich beschrieben werden, und zwar als In diesem Abschnitt lernst du, wie du eine Parameterdarstellung (Parameterform) einer Ebene in eine Koordinatenform umwandelst.
Schritte
- Berechne das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Das liefert den Normalenvektor
: - Schreibe einen Ansatz der Ebenengleichung hin:
- Setze den Stützpunkt der Ebene ein, um
zu erhalten: Somit lautet die gesuchte EbenengleichungMit Koordinatenformen kann viel einfacher gerechnet werden als mit Parameterformen. Eine Umwandlung in die Koordinatenform ist für anschließende Teilaufgaben daher meist sinnvoll.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, die jeweils die folgenden Objekte enthält:
- die Punkte
, und - den Punkt
und die Gerade - den Ursprung und die Gerade
Lösung zu Aufgabe 1
- Der Punkt
wird zum Stützpunkt und die Vektoren und zu den Spannvektoren der Ebene. Die Parameterform der Ebene lautet somit: Kreuzprodukt der Spannvektoren:Den Punktin den Ansatz der Koordinatenform einsetzen. Die Koordinatenform lautet dann - Berechne den zweiten Spannvektor:
Die Parameterform der Ebene lautet:Umformen in Koordinatengleichung ergibt:
- Berechne den zweiten Spannvektor:
Die Parameterform der Ebene lautet:Umformen in Koordinatenform ergibt:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Wandle folgende Ebenengleichungen in Koordinatenform um:
Lösung zu Aufgabe 2
- Wie im Merksatz werden folgende Schritte gemacht:
- Kreuzprodukt der Spannvektoren:
- Ansatz der Ebenengleichung:
- Stützpunkt einsetzen:
Die Koordinatenform lautet somit
- Kreuzprodukt der Spannvektoren:
- Die Koordinatenform lautet:
- Die Koordinatenform lautet:
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Wandle folgende Ebenengleichungen in Koordinatenform um:
Lösung zu Aufgabe 3
- Wie im Merksatz werden folgende Schritte gemacht:
- Kreuzprodukt der Spannvektoren:
- Ansatz der Ebenengleichung:
- Stützpunkt einsetzen:
Die Koordinatenform lautet somit
- Kreuzprodukt der Spannvektoren:
- Die Koordinatenform lautet: