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Geometrische Objekte

Umwandlung Parameterform zu Koordinatenform

Erklärung

Einleitung

Eine Ebene ist ein geometrisches Objekt im dreidimensionalen Raum und kann unterschiedlich beschrieben werden, und zwar als

In diesem Abschnitt lernst du, wie du eine Parameterdarstellung (Parameterform) einer Ebene in eine Koordinatenform umwandelst.

Gegeben ist die Parameterform
Gesucht ist die Koordinatenform von .
Schritte
  • Berechne das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Das liefert den Normalenvektor :
  • Schreibe einen Ansatz der Ebenengleichung hin:
  • Setze den Stützpunkt der Ebene ein, um zu erhalten:
    Somit lautet die gesuchte Ebenengleichung
    Mit Koordinatenformen kann viel einfacher gerechnet werden als mit Parameterformen. Eine Umwandlung in die Koordinatenform ist für anschließende Teilaufgaben daher meist sinnvoll.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, die jeweils die folgenden Objekte enthält:

  1. die Punkte , und
  2. den Punkt und die Gerade
  3. den Ursprung und die Gerade

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Der Punkt wird zum Stützpunkt und die Vektoren und zu den Spannvektoren der Ebene. Die Parameterform der Ebene lautet somit:
    Kreuzprodukt der Spannvektoren:
    Den Punkt in den Ansatz der Koordinatenform einsetzen. Die Koordinatenform lautet dann
  2. Berechne den zweiten Spannvektor:
    Die Parameterform der Ebene lautet:
    Umformen in Koordinatengleichung ergibt:
  3. Berechne den zweiten Spannvektor:
    Die Parameterform der Ebene lautet:
    Umformen in Koordinatenform ergibt:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Wandle folgende Ebenengleichungen in Koordinatenform um:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Wie im Merksatz werden folgende Schritte gemacht:
Schritte
  • Kreuzprodukt der Spannvektoren:
  • Ansatz der Ebenengleichung:
  • Stützpunkt einsetzen:
    Die Koordinatenform lautet somit
  1. Die Koordinatenform lautet:
  2. Die Koordinatenform lautet:
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Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Wandle folgende Ebenengleichungen in Koordinatenform um:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Wie im Merksatz werden folgende Schritte gemacht:
Schritte
  • Kreuzprodukt der Spannvektoren:
  • Ansatz der Ebenengleichung:
  • Stützpunkt einsetzen:
    Die Koordinatenform lautet somit
  1. Die Koordinatenform lautet:
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 23. 12. 2018