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Abstand Gerade-Ebene

Abstand Gerade-Ebene

Merksatz

Der Abstand zwischen einer Ebene und einer parallel verlaufenden Geraden ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf zur Ebene .

Beachte, dass man den Abstand auf diese Weise nur berechnen kann, wenn die Gerade und die Ebene parallel sind. (Wenn Gerade und Ebene nicht parallel sind, so schneiden sie sich und ihr Abstand ist .)

Beispiel

Berechne den Abstand der Ebene und der parallel verlaufenden Geraden

Wähle hierzu einen beliebigen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel , und berechne seinen Abstand zu :

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben sind

Zeige, dass sich und nicht schneiden und berechne den Abstand dieser beiden Objekte.

Lösung zu Aufgabe 1

Die Ebene wird in Koordinatenform umgewandelt.

Schritte
  • Normalenvektor
  • Ansatz für die Ebenengleichung:
  • Stützpunkt einsetzen und bestimmen:
    Die Koordinatenform der Ebene lautet
    Die Gerade ist parallel zur Ebene , da der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor ist:
    Nun kann der Abstand für einen beliebigen Punkt, beispielsweise auf der Geraden bestimmt werden:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben sind die Geradenschar und die Ebene :

  1. Bestimme , sodass die Gerade und die Ebene parallel verlaufen.
  2. Berechne den Abstand dieser Geraden zur Ebene .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Wie zuvor wird die Ebene in Koordinatenform umgewandelt:

    Damit die Gerade die Ebene nicht schneidet, muss die Gerade parallel zur Ebene, der Richtungsvektor also senkrecht zum Normalenvektor, sein:
  2. Der Abstand von zur Ebene berechnet sich wie zuvor durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden:

    Für liegt die Gerade in der Ebene .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben sind die Geradenschar und die Ebene :

  1. Bestimme , sodass die Gerade und die Ebene parallel verlaufen.
  2. Berechne den Abstand dieser Geraden zur Ebene .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform umgewandelt:

    Damit die Gerade die Ebene nicht schneidet, muss die Gerade parallel zur Ebene, der Richtungsvektor also senkrecht zum Normalenvektor, sein:
  2. Der Abstand von zur Ebene berechnet sich wie zuvor durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden:

    Für liegt die Gerade parallel zur Ebene .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018