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Abstand Punkt-Ebene

Abstand Punkt-Ebene

Merksatz

Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene

ist gegeben durch:

Beispiel

Der Abstand von zu der Ebene

lässt sich errechnen durch

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Wie groß ist der Abstand von zur jeweiligen Ebene?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Ebene in Parameterform wird in Koordinatenform umgewandelt.

Schritte
  • Berechnung des Normalenvektors als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
  • Ansatz für Ebenengleichung:
  • Einsetzen des Stützpunkts liefert :
    Nun kann der Abstand berechnet werden:
  1. Wie in (c) wird die Ebene zunächst in Koordinatenform umgewandelt. Man erhält
    Dann ist
    Folglich liegt der Punkt in der Ebene .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Gegeben ist der Punkt und die Ebenenschar

Bestimme alle Ebenen der Ebenenschar , die zum Punkt einen Abstand von zwei Längeneinheiten haben. Kläre zudem, welche Werte der Abstand zwischen und annehmen kann.

Lösung zu Aufgabe 2

Gesucht sind diejenigen Ebenen mit . Der Abstand zwischen der Ebenenschar und dem Punkt in Abhängigkeit von ist gegeben durch:

Nun kann gleichgesetzt werden:
Multiplikation mit und Division durch liefert:
Nun werden beide Seiten quadriert, dadurch fallen die Betragsstriche weg:
Die Lösungen der quadratischen Gleichung können mit der --Formel bestimmt werden: und . Folglich haben die Ebenen
einen Abstand von zwei Längeneinheiten zum Punkt . Um zu sehen, welche Werte der Abstand zwischen und annehmen kann, fassen wir als Funktion von auf:
Eine Kurvendiskussion zeigt: die Funktion hat eine Nullstelle bei .
Für ist monoton wachsend und es ist . Für ist die Funktion monoton wachsend bis und danach monoton fallend ( hat VZW von nach ), hat also ein Maximum bei . Der maximale Abstand ist . Es handelt sich hierbei um ein globales Maximum, denn .
Der Abstand von der Ebenenschar zum Punkt nimmt Werte zwischen LE und LE an.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018