cross
Abstand

Abstand Punkt-Ebene

Erklärung

Einleitung

Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnest, die in Koordinatenform gegeben ist.

Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene
ist gegeben durch:

Der Abstand von zu der Ebene
lässt sich errechnen durch

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Wie groß ist der Abstand von zur jeweiligen Ebene?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Ebene in Parameterform wird in Koordinatenform umgewandelt.

Schritte
  • Berechnung des Normalenvektors als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
  • Ansatz für Ebenengleichung:
  • Einsetzen des Stützpunkts liefert :
    Nun kann der Abstand berechnet werden:
  1. Wie in (c) wird die Ebene zunächst in Koordinatenform umgewandelt. Man erhält
    Dann ist
    Folglich liegt der Punkt in der Ebene .
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist der Punkt und die Ebenenschar

Bestimme alle Ebenen der Ebenenschar , die zum Punkt einen Abstand von zwei Längeneinheiten haben. Kläre zudem, welche Werte der Abstand zwischen und annehmen kann.

Lösung zu Aufgabe 2

Gesucht sind diejenigen Ebenen mit . Der Abstand zwischen der Ebenenschar und dem Punkt in Abhängigkeit von ist gegeben durch:

Nun kann gleichgesetzt werden:
Multiplikation mit und Division durch liefert:
Nun werden beide Seiten quadriert, dadurch fallen die Betragsstriche weg:
Die Lösungen der quadratischen Gleichung können mit der --Formel bestimmt werden: und . Folglich haben die Ebenen
einen Abstand von zwei Längeneinheiten zum Punkt . Um zu sehen, welche Werte der Abstand zwischen und annehmen kann, fassen wir als Funktion von auf:
Eine Kurvendiskussion zeigt: die Funktion hat eine Nullstelle bei . Für ist monoton wachsend und es ist . Für ist die Funktion monoton wachsend bis und danach monoton fallend ( hat VZW von nach ), hat also ein Maximum bei . Der maximale Abstand ist . Es handelt sich hierbei um ein globales Maximum, denn .
Der Abstand von der Ebenenschar zum Punkt nimmt Werte zwischen LE und LE an.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 30. 11. 2018