cross
Lagebeziehungen und Schnitt

Lagebeziehung Ebene-Ebene

Erklärung

Einleitung

Lagebeziehungen zwischen zwei geometrischen Objekten im dreidimensionalen Raum machen eine Aussage darüber, wie diese im Raum zueinander liegen. Es sind zu unterscheiden

In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform bestimmen kannst. Wenn eine Ebene in Parameterdarstellung vorliegt, kannst du sie - wie im Abschnitt Umwandlung Parameterform zu Koordinatenform beschrieben - in Koordinatenform umwandeln. Wie du eine gemeinsame Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen kannst, lernst du im Abschnitt Schnitt Ebene-Ebene.

Gegeben sind zwei Ebenen und mit Normalenvektoren bzw. . Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen und .
  • Fall 1: . Dann schneiden sich und in einer Schnittgeraden.
  • Fall 2: . Dann überprüfe, ob Koordinatengleichungen der Ebenen ein Vielfaches voneinander sind.
  • Fall 2.a: Vielfaches. Dann sind und identisch.
  • Fall 2.b: Kein Vielfaches. Dann sind und echt parallel.
Tipp: Soll die Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform bestimmt werden, dann wandle diese zuerst in Koordinatenform um.

Die Ebenen
haben parallele Normalenvektoren, denn
Zudem sind die Ebenengleichungen Vielfache voneinander:
Daher sind und identisch.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind:

Bestimme für alle Paare jeweils ihre Lagebeziehung.

Lösung zu Aufgabe 1

Die Normalenvektoren der Ebenen lauten:

Es gilt:
Die Ebene schneidet die anderen drei Ebenen in einer Schnittgeraden. Die Koordinatengleichungen von und sind Vielfache voneinander, das heißt und sind identisch. Die Koordinatengleichungen von und (bzw. ) sind keine Vielfache voneinander, also ist echt parallel zu und zu .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen zueinander und ermittle die Schnittmenge.

Tipp: Wandle die Ebenen in Koordinatenform um.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von lautet
    Die Koordinatengleichungen von und sind keine Vielfachen voneinander, das heißt die Ebenen sind echt parallel.
  2. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von lautet
    Die Koordinatengleichungen von und sind Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind identisch.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 24. 12. 2018