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Stetigkeit

Stetigkeit

Merksatz

Gegeben sind zwei stetige bzw. differenzierbare Funktionen und . Der Graph der Funktion soll an der Stelle an den Graphen der Funktion angeschlossen werden. Dabei heißt der Übergang an der Stelle :

  • stetig, falls gilt.
  • differenzierbar, falls zusätzlich gilt.
  • zweimal differenzierbar bzw. krümmungsruckfrei, falls zusätzlich gilt.

Beispiel

Betrachtet werden die folgenden beiden Funktionen

An der Stelle geht der Graph der Funktion in den Graphen der Funktion über.

Es gelten:

Somit ist der Übergang der Graphen und zwar stetig und differenzierbar, aber nicht krümmungsruckfrei.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Gegeben ist die Funktion

Zeige, dass die Funktion an der Stelle einmal differenzierbar ist, jedoch nicht zweimal.

Lösung zu Aufgabe 1

Definiere die Funktionen und folgendermaßen:

Dann gelten
Die Funktion ist als Zusammensetzung der beiden Funktionen an der Stelle stetig.
Weiter gilt
Da die Funktion an der Übergangsstelle stetig ist und die Funktionenswerte der Ableitungen und an der Stelle übereinstimmen, ist die Funktion einmal differenzierbar an der Stelle und damit für alle .
Nun gilt weiter:
Die zweiten Ableitungen der Funktionen und stimmen an der Stelle nicht überein und somit ist die Funktion nicht zweimal differenzierbar an der Stelle .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Funktion mit

  1. Zeige, dass die Funktion mit
    an der Stelle denselben Wert, dieselbe Steigung und dieselbe Krümmung wie die Funktion besitzt.
  2. Bestimme eine ganzrationale Funktion 2. Grades, welche die gleichen Bedingungen erfüllt.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es gelten:
    Ausserdem:
    Somit gelten an der Stelle folgende Beziehungen:
    Daher sind Funktionswerte, Steigung und Krümmung der beiden Funktionen und an der Stelle gleich.
  2. Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Funktionsgleichung
    Es gelten:
    Somit erhält man folgende Gleichungen:
    Die gesuchte Funktion zweiten Grades hat folgende Funktionsgleichung:

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Eine Schanze fürs Skispringen besteht aus zwei Teilen, einem parabelförmigen Anlaufbogen und einem geradenförmigen Schwungstück. Der Verlauf des Anlaufbogens kann durch den Graphen der Funktion modelliert werden und der Verlauf des Schwungstückes durch den Graphen der Funktion .

Die Funktionen und können durch folgende Gleichungen beschrieben werden:
mit , und jeweils in Metern.
  1. Begründe im Sachzusammenhang, dass man , und nicht so wählen kann, dass die Graphen von und krümmungsruckfrei ineinander übergehen.
  2. Das Schwungstück soll eine Steigung von aufweisen. Bestimme die Werte der Parameter und so, dass der Übergang zwischen Anlaufbogen und Schwungstück ohne Knick verläuft.
  3. Ein Skispringer fliegt nach dem Verlassen der Schanze parabelförmig weiter. Bestimme die Schar aller möglichen Flugbahnen.
  4. Die Landefläche besitzt eine Neigung von . Der Skispringer trifft im Punkt auf den Boden. Unter welchem Winkel trifft seine Flugbahn auf den Erdboden?
    Ein Zwischenergebnis für (c) ist . Je nach Rechenweg können scheinbar unterschiedliche Ergebnisse auftreten. Für Teil (d) soll mit diesem angegebenen Zwischenergebnis weitergerechnet werden.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Eine Parabel der Form hat an jedem Punkt die Krümmung . Eine Gerade hat unabhängig von der Steigung stets die Krümmung 0. Daher müsste gewählt werden. Dann ist der Graph von aber keine Parabel mehr, sondern die Gerade . Mit dieser lässt sich kein Schwung holen.
  2. Da die Steigung betragen soll, muss gelten . Somit müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:
    Dies führt zur Lösung und .
  3. Eine Gleichung der Flugbahn hat die allgemeine Form
    Die Ableitungen der Funktion sind gegeben durch:
    Da der Skispringer die Schanze am Endpunkt verlässt und zunächst die Richtung der Schanze beibehält, müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:
    Mit und folgt daher
    In diesem LGS kann man nun als einen Parameter betrachten und nach und auflösen. Man erhält dann
    Somit ergibt sich die gesuchte Parabelschar als
    Je nachdem, welche Variable als Parameter gesetzt wird, können hier verschiedene Ergebnisse stehen. Die Forderung ist nötig, da die Parabel nach unten geöffnet sein sollte.
  4. Mit dem Zwischenergebnis aus der vorhergehenden Aufgabe bestimmt man , indem man zusätzlich fordert, dass der Graph von durch den Punkt verläuft. Es folgt:
    Nun wird die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt bestimmt. Es gilt:
    Schließlich berechnet man noch den Schnittwinkel über die Tangensformel. Man kann das ganze Problem an der -Achse gespiegelt betrachten und mit den positiven Werten der Steigung rechnen. Man erhält für den Schnittwinkel daher

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben sind die Punkte

Welchen Grad muss mindestens haben? Stelle alle Gleichungen auf, die erfüllen muss.

Hinweis

Eine Gleichung für die Funktion selbst muss nicht gefunden werden.

Lösung zu Aufgabe 4

Beide Strecken sind gerade und haben daher eine Krümmung von . Der Graph der Funktion muss zusätzlich durch die Punkte und verlaufen. Daher müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:

Die Gleichung der Funktion muss also 6 Bedingungen erfüllen. Daher muss mindestens den Grad 5 besitzen. Ein allgemeiner Ansatz für ist dann gegeben durch:
Die ersten Ableitungen von sind dann gegeben durch:
Somit ergibt sich folgendes System aus 6 Gleichungen:

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: **

In den Jahren 2003 bis 2004 sollte die Hochrheinbrücke zwischen Deutschland und der Schweiz errichtet werden. Ihr Profil wird für beschrieben durch die Funktion mit

hierbei beschreibt den Abstand in horizontaler Richtung und die Höhe über dem Schweizer Widerlager, also dem Punkt, an dem die Brücke mit dem Erdboden verbunden ist. Eine Längeneinheit entspricht Metern. Nun haben die Schweiz und Deutschland eine unterschiedliche Vorstellung des Begriffes Normalnull, was prinzipiell auch bei der Planung der Brückenkonstruktion bekannt war. Der Unterschied zwischen dem deutschen Normalnull und dem schweizer Normalnull beträgt gerade . Nun wurde die Korrektur jedoch in die falsche Richtung hinzugerechnet, so dass die Brücke auf der deutschen Seite oberhalb des geplanten Widerlagers auftraf. Auf der deutschen Seite wurde daher Erde aufgeschüttet. Die neue Oberfläche der Erde kann für beschrieben werden durch eine Funktion der Schar mit
Bestimme die Parameter so, dass am Widerlager kein Höhenunterschied mehr besteht und Brücke und Erdboden dieselbe Steigung haben. Die Funktion , definiert als
soll also einmal differenzierbar sein. Berechne die Variablen auf eine Genauigkeit von Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe 5

Es gelten:

Ausderdem:
Somit muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden:
Division der zweiten Gleichung durch die erste Gleichung liefert
Durch Einsetzen erhält man weiter
Eine Gleichung der gesuchten Funktion lautet also

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben sind für folgende zwei Funktionenscharen und :

Überprüfe, ob ein existiert, so dass die Graphen von und an der Stelle krümmungsruckfrei ineinander übergehen. Bestimme den Wert von , falls eines existiert.

Lösung zu Aufgabe 6

Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein:

Die erste Bedingung ist für jedes erfüllt, da beide Funktionen den gleichen -Achsenabschnitt haben.

Um die anderen beiden Bedingungen zu prüfen, bildet man die ersten beiden Ableitungen der Funktionen und .

Es muss also gelten:
Somit muss gelten, damit der Übergang knickfrei ist.

Desweiteren muss gelten:

Somit ist der Übergang an der Stelle für alle krümmungsruckfrei. Der Übergang der Graphen der Funktionen und ist stetig, knickfrei und krümmungsruckfrei.

Aufgabe 7 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Funktion durch

  1. Zeige, dass der Graph der Funktion mit
    an der Stelle denselben Wert, dieselbe Steigung und dieselbe Krümmung wie der Graph von hat.
  2. Bestimme eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, welche die gleichen Bedingungen erfüllt.

Lösung zu Aufgabe 7

  1. Es gelten
    Außerdem:
    Somit gelten an der Stelle folgende Gleichungen
    Daher sind Funktionswerte, Steigung und Krümmung der Graphen der beiden Funktionen und an der Stelle gleich.
  2. Ein Ansatz für die Gleichung für eine ganzrationale Funktion zweiten Grades lautet:
    Es gelten
    Somit erhält man folgende Gleichungen:
    Also ist die Funktion mit
    diejenige ganzrationale Funktion zweiten Grades, welche die geforderten Eigenschaften erfüllt.

Aufgabe 8

Die Funktion wird abschnittsweise definiert wie folgt:

Untersuche die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle .

Lösung zu Aufgabe 8

Zunächst untersucht man die Funktion auf Stetigkeit. Hierzu führt man folgende Bezeichnungen ein:

Falls gilt, ist stetig.
Der rechtsseitige Grenzwert ist gleich wie der linksseitige Grenzwert (nämlich ), damit ist die Funktion in stetig.
Um die Differenzierbarkeit zu beurteilen, bildet man die Ableitungen und .
Falls gilt, ist in differenzierbar.
Damit gilt und ist nicht differenzierbar in .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018