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Ableitung

Ableitung

Was du in diesem Artikel über die Ableitung lernst

Lernziele

  • Du verstehst, was ableiten (differenzieren) mit der Steigung einer Funktion zu tun hat.
  • Du kannst den Graphen einer vorgegebenen Funktionen graphisch ableiten.
  • Du erhältst eine Übersicht über alle Abi-relevanten Ableitungsregeln.
  • Im Artikel findest du zu allen wichtigen Themen Links zu weiteren Erklärungen und Übungsaufgaben mit detaillierten Lösungen.

Was die Ableitung mit Steigung zu tun hat

Was ist eine Steigung?

Die Ableitung gibt Auskunft über die Steigung von . Darum zuerst eine kurze Erklärung, was eine Steigung ist.
Ist die Steigung zum Beispiel gleich 2, so bedeutet dies: Wenn du einen Schritt nach rechts gehst, gehst du 2 Schritte nach oben.

Entsprechend bedeutet Steigung -0,3: Wenn du einen Schritt nach rechts gehst, gehst du 0,3 Schritte nach unten.

Was ist die Steigung einer Funktion?

An jeder Stelle hat der Graph einer Funktion eine Steigung. Diese entspricht der Steigung einer Tangente, die du an diese Stelle legst.
So kannst du beispielsweise ablesen, dass der Graph der Parabel an der Stelle die Steigung 2 hat.

Auch siehst du, dass an der Stelle die Steigung 0 ist. Eine Tangente an der Stelle geht hier weder nach oben noch nach unten, sondern ist waagerecht.
Die Steigung einer Funktion wird durch die Ableitung angegeben. So bedeutet , dass der Graph von an der Stelle die Steigung 2 hat. Entsprechend bedeutet , dass der Graph der Funktion an der Stelle Steigung 0 hat.

Was ist nun die Ableitung?

Die Ableitung ist eine Funktion. Sie wird mit einem kleinen Strich gekenzeichnet: ist die Ableitung von . Manche sagen dazu auch Änderungsrate. Ableiten wird auch differenzieren genannt.
Die Ableitung nimmt an jeder Stelle den Wert der Steigung von an der Stelle an.
Beim Schaubild der Parabel hast du die Steigungen an den Stellen 0 und 1 schon abgelesen. Wenn du für weitere Stellen die Steigung abliest, so erhältst du folgende Tabelle:

Diese Punkte kann man in ein Schaubild zeichnen und zu einer Funktion verbinden.
Die Ableitungsfunktion der Funktion ist eine Gerade mit der Gleichung .
In der Grafik unten siehst du das ganze nochmal interaktiv. Du kannst den Bezugspunkt auf der x-Achse verschieben, um so zu sehen, wie sich daraus die Ableitung (orange) entwickelt. Eine exakte mathematische Beschreibung zum Begriff der Ableitung und der Unterscheidung zwischen durchschnittliche/mittlere Änderungsrate und momentane Änderungsrate findest du hier: Differenzenquotient

Du hast noch Fragen?
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Wie du Funktionen graphisch ableiten kannst

Die Steigung ablesen und zu einer Funktion ergänzen

Du kannst zu jedem gegebenen Schaubild einer Funktion die Ableitung einzeichnen. Dazu suchst du dir Stellen im Schaubild der Funktion aus, an denen du die Steigung gut erkennen kannst.
An Hoch-, Tief- und Sattelpunkten ist die Steigung beispielsweise 0. Wenn die Funktion ansteigt, also nach oben geht, ist die Steigung größer null, wenn sie nach unten geht, ist die Steigung kleiner null.

Wenn du nun alle Werte der Steigung als Funktionswerte in das Schaubild zeichnest und zu einem Graphen verbindest, erhältst du das Schaubild der Ableitungsfunktion
Fürs Abi ist es nützlich, wenn du dir folgendes klar machst:

  • Hat die Funktion an der Stelle einen Hochpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion ist links von positiv, und rechts von negativ.
  • Hat die Funktion an der Stelle einen Tiefpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion ist links von negativ, und rechts von positiv.
  • Hat die Funktion an der Stelle einen Sattelpunkt/Terassenpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion wechselt das Vorzeichen aber nicht und berührt an der Stelle die -Achse.
  • Steigt der der Gaph von , dann ist dort die Ableitung positiv (also ). Fällt der der Gaph von, dann ist dort die Ableitung negativ (also ).

Weitere Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen zum graphischen Ableiten findest du hier: Graphisches Ableiten

Übersicht: Die wichtigsten Ableitungsregeln

Ableitungsregeln elementarer Funktionen

Die Ableitungsfunktionen von Potenzfunktionen, e-Funktion, Logarithmusfunktion, Wurzelfunktion und trigonmetrischen Funktionen (Sinus, Cousins, Tangens) solltest du (je nach Bundesland) im Abi auswendig parat haben:

Die erste Regel ist besonders wichtig, denn jetzt kannst du alle ganzrationalen Funktionen (d.h. Polynome) ableiten. Die Funktion

hat die Ableitung
Übungsaufgaben zum Ableiten von ganzrationalen Funktionen findest du hier: Potenzfunktionen

Die Schaubilder der Ableitungsfunktion der wichtigsten elementaren Funktionen

Fürs Abi ist es hilfreich, wenn du ungefähr weißt, wie die Schaubilder der wichtigsten Funktionen und deren Ableitungen aussehen.
Eine Gerade hat stets eine konstante Steigung. So hat die Gerade

die konstante Ableitungsfunktion
Die Parabel
hat die Ableitungsfunktion
Die -Funktion und ihre Ableitungsfunktion sind identisch:
Die Exponential-Funktion zeigt also stets die eigene Steigung an. Sie hat beispielsweise an der Stelle den Funktionswert und die damit identische Steigung .

Kettenregel

Der passende Merkspruch zu dieser Regel lautet: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"

Hierzu ein Beispiel: Die Funktion
hat die innere Funktion
und die Äußere Funktion
Deren Ableitungen sind:
Wie im Merksatz oben kannst du daher die Funktion auch so schreiben:
Damit kannst du bestimmen:
Das kann man noch vereinfachen, wenn man will.

Eine ausführliche Erklärung zur Kettenregel mit vielen Beispielen und Übungsaufgaben findest du hier: Kettenregel

Produktregel

Gesucht ist die Ableitung von
Die Funktion ist das Produkt von zwei Funktionen, nämlich
Die Ableitungen dieser Funktionen sind
Jetzt kannst du mithilfe der Produktregel ausrechnen:

Im Abi musst du oft die Produkt-oder Kettenregel anwenden und dann die Gleichung ausrechnen. (Beispielsweise um die Extremstellen von zu bestimmen.) Merke dir, dass du dann sehr oft durch Ausklammern die Gleichung lösen kannst. Im Beispiel oben wäre das
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst du die Lösungen und

Eine ausführliche Erklärung zur Produktregel mit detailierten Beispielen und Übungsaufgaben findest du hier: Produktregel

Veröffentlicht: 03. 09. 2018, zuletzt modifiziert: 26. 09. 2018