Was Du in diesem Artikel lernst
Lernziele
Da es in vielen Bundesländern aus den Lehrplänen genommen wurde, hat das Thema
Tangente durch Fernpunkt
einen eigenen Artikel.
Tangenten: Definition und Grundwissen
Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist eine Gerade
Wie hängen die Begriffe "Ableitung" und "Tangente" zusammen?
Wenn Du die Steigung der Tangente an einem bestimmten
Was ist eine Wendetangente?
Als Wendetangente bezeichnet man eine Tangente, deren Berührpunkt ein Wendepunkt ist. Um sie zu berechnen, muss man zunächst den Wendepunkt
Typische Tangentenprobleme und ihre Lösung
Tangente in einem Kurvenpunkt bestimmen
-
Schritt 1: Die allgemeine Geradengleichung lautet:
Dabei entspricht der Parameter
der Steigung und der Parameter dem -Achsenabschnitt der Geraden. -
Schritt 2: Leite die Funktion
ab: -
Schritt 3: Setze den
-Wert von in die Ableitung ein, das liefert die Steigung : -
Schritt 4: Damit ist ein Ansatz für die Tangentengleichung:
-
Schritt 5: Bestimme den
-Wert des Punktes : -
Schritt 6: Setze
in die Tangentengleichung ein, das liefert den -Achsenabschnitt :
Tangente mit vorgegebener Steigung an Kurve bestimmen
-
Schritt 1: Bestimme die Ableitung von
: -
Schritt 2: Löse die Gleichung
. Das liefert die -Koordinate des Berührpunktes: -
Schritt 3: Bestimme den Funktionswert an der Berührstelle:
-
Schritt 4: Ein Ansatz für die Tangentengleichung ist also gegeben durch:
-
Schritt 5: Setze die Koordinaten von
in die Tangentengleichung ein, das liefert :
Schnittwinkel zwischen Gerade und Funktion berechnen
Oftmals ist im Abi nach dem Schnittwinkel einer Funktion
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme jeweils die Tangente durch den Kurvenpunkt
Lösung zu Aufgabe 1
- Die Gleichung einer allgemeinen Geraden lautet
. Zunächst bestimmt man die Ableitung von als . Setzt man die -Koordinate von in ein, so erhält man: . Somit hat die Tangente die Form . Um zu bestimmen, wird noch einmal der Punkt für und in den Ansatz der Tangente eingesetzt: Die gesuchte Tangentengleichung ist daher. - Wie in der letzten Aufgabe bestimmt man zuerst die Ableitung
. Der -Wert von ist . Dieser Wert wird in eingesetzt und man erhält . Dies liefert den Ansatz für die gesuchte Tangente. Als letztes wird der Punkt in diesen Ansatz eingesetzt um zu bestimmen: Die Tangentengleichung ist somit. - Als neue Schwierigkeit kommt hier die Exponentialfunktion dazu. Solltest Du mit der Exponentialfunktion noch Schwierigkeiten haben, schau Dir am besten nochmal den Artikel zur Exponentialfunktion an. Leitet man
ab, so erhält man (n). Der -Wert von in eingesetzt ergibt . Man erhält den Ansatz . Um zu bestimmen, setzt man in diesen Ansatz ein: Die gesuchte Tangente hat die Gleichung. - Die Ableitung von
ist . Setzt man den -Wert von in ein, so erhält man: Der Ansatz für die Tangente ist somit. Schließlich setzt man noch den Punkt in den Ansatz ein, um zu bestimmen: Die gesuchte Tangente hat somit die Gleichung. - Um die Ableitung von
zu bestimmen, benötigst Du die Produktregel. Wenn man diese anwendet, erhält man . Setzt man nun den -Wert von dort ein, so folgt: Umzu bestimmen, muss man zunächst den -Wert von bestimmen. Dieser ist . Nun kann man in den Ansatz der Tangente einsetzen, um zu bestimmen: Die gesuchte Tangente hat damit die Gleichung.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme alle Tangenten an die Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
- Wie im Rezept bestimmt man zunächst die Ableitung von
. Diese ist . Als nächstes bestimmt man, für welches die Ableitung den Wert hat: Somit ist der-Wert des Berührpunktes gleich 2. Um den -Wert zu bestimmen, setzt man in ein und erhält . Es folgt: . Da die Steigung von vorgegeben ist, hat die gesuchte Tangente den Ansatz . Um das fehlende zu bestimmen setzt man nun in diesen Ansatz ein: Die gesuchte Tangente ist also. - Die Ableitung von
ist . Gesucht ist für das ist. Es folgt daher: An dieser Stelle übersehen viele, dassauch eine mögliche Lösung ist. Wenn Dir das auch passiert ist, schau Dir gerne unseren Artikel über die Lösung einer quadratische Gleichungen an. Da wir zwei mögliche -Werte haben, gibt es auch zwei mögliche Berührpunkte mit den -Werten und . Die zugehörigen -Werte erhält man, wenn man die -Werte jeweils in einsetzt. Es ist und . Die Berührpunkte sind also: Für beide Fälle ist der Ansatz für die Tangente gleich. Setzt man den ersten Berührpunkt ein, so erhält erhält man: Beim zweiten Berührpunkt erhält manEs gibt also zwei mögliche Tangenten an, deren Steigung gleich 9 ist. Die Gleichungen lauten und . Untenstehende Abbildung zeigt, wie die Tangenten am Schaubild liegen: - Die Ableitung von
ist . Als nächstes bestimmt man, für welches die Ableitung den Wert annimmt. Um dieses zu bestimmen, muss man die folgende Exponentialgleichung lösen: Den Berührpunkt erhält man, indem manin einsetzt. Es folgt: Somit ist der Berührpunkt gleich. Aufgrund der vorgegebenen Steigung ist der Ansatz für die Tangentengleichung gleich . Das wird nun bestimmt, indem der Berührpunkt in die Gerade eingesetzt wird: Daraus folgt die Gleichung der gesuchten Tangente als. - Zunächst leitet man
ab und erhält . Sucht man die für die ist, muss man folgende Gleichung lösen: Um diese Gleichung zu lösen benötigt man die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel:Da es zwei verschiedene-Werte gibt, gibt es auch zwei verschiedene Berührpunkte und . Die zugehörigen erhält man, wenn man die jeweiligen -Werte in einsetzt. Es folgt Die Berührpunkte sind somitAufgrund der gegebenen Steigung ist der Ansatz für die Tangente gegeben durch. Setzt man die beiden Berührpunkte ein, so erhält man die beiden (waagrechten) Tangenten und .