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Tangenten

Tangente

Was Du in diesem Artikel lernst

Lernziele

  • Du verstehst was eine Tangente ist.
  • Du lernst, wie man die Tangente in einem Kurvenpunkt bestimmt.
  • Du lernst, wie man eine Tangente mit vorgegebener Steigung an eine Kurve bestimmt.
  • Du lernst, was es es mit dem Begriff der Wendetangente auf sich hat.
  • Du lernst, wie man den Schnittwinkel einer Funktion mit einer Geraden bestimmt.
Da es in vielen Bundesländern aus den Lehrplänen genommen wurde, hat das Thema Tangente durch Fernpunkt einen eigenen Artikel.

Tangenten: Definition und Grundwissen

Was ist eine Tangente?

Eine Tangente ist eine Gerade , die eine gegebene Funktion in einem Punkt berührt. Das heißt, sie hat mit der Funktion einen gemeinsamen Punkt und dort die gleiche momentante Steigung wie die Funktion.

Das heißt jede (differenzierbare) Funktion hat in jedem Punkt ihres Graphen genau eine Tangente.

Wie hängen die Begriffe "Ableitung" und "Tangente" zusammen?

Wenn Du die Steigung der Tangente an einem bestimmten -Wert einer Funktion bestimmen möchtes, so ist die Tangentensteigung gerade der Wert der Ableitung von an diesem -Wert.

Möchtest Du wissen, welche Steigung die Tangente der Funktion im Punkt hat, so berechne zunächst die Ableitung von . Diese ist . Der -Wert von ist 2. Daher ist die Steigung der Tangente, die in berührt, gleich .

Was ist eine Wendetangente?

Als Wendetangente bezeichnet man eine Tangente, deren Berührpunkt ein Wendepunkt ist. Um sie zu berechnen, muss man zunächst den Wendepunkt der Funktion bestimmen. Im zweiten Schritt berechnet man die Tangente durch den Punkt (Wie das geht, erfährst Du im nächsten Abschnitt).

Typische Tangentenprobleme und ihre Lösung

Tangente in einem Kurvenpunkt bestimmen

Gegeben sind der Graph der Funktion mit
und ein Kurvenpunkt . Bestimme eine Gleichung der Tangente an im Punkt .
  • Schritt 1: Die allgemeine Geradengleichung lautet:
    Dabei entspricht der Parameter der Steigung und der Parameter dem -Achsenabschnitt der Geraden.
  • Schritt 2: Leite die Funktion ab:
  • Schritt 3: Setze den -Wert von in die Ableitung ein, das liefert die Steigung :
  • Schritt 4: Damit ist ein Ansatz für die Tangentengleichung:
  • Schritt 5: Bestimme den -Wert des Punktes :
  • Schritt 6: Setze in die Tangentengleichung ein, das liefert den -Achsenabschnitt :
Damit ist eine Gleichung der Tangente gegeben durch

Es gibt auch eine Formel für die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion im Kurvenpunkt :

Tangente mit vorgegebener Steigung an Kurve bestimmen

Gegeben ist der Graph der Funktion mit
Bestimme die Gleichungen aller Tangenten an mit der Steigung .
  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung von :
  • Schritt 2: Löse die Gleichung . Das liefert die -Koordinate des Berührpunktes:
  • Schritt 3: Bestimme den Funktionswert an der Berührstelle:
  • Schritt 4: Ein Ansatz für die Tangentengleichung ist also gegeben durch:
  • Schritt 5: Setze die Koordinaten von in die Tangentengleichung ein, das liefert :
Damit ist die Gleichung der gesuchten Tangente gegeben durch

Schnittwinkel zwischen Gerade und Funktion berechnen

Oftmals ist im Abi nach dem Schnittwinkel einer Funktion mit einer Geraden gefragt. Genau genommen handelt es sich dabei um den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Tangenten von im Schnittpunkt .

Diesen kann man mit Hilfe einer Formel bestimmen, sobald der -Wert des Schnittpunkts bekannt ist.

Ist die Steigung der Geraden und die -Koordinate des Schnittpunkt von und , so ist der Schnittwinkel gegeben als

Seien und die Gerade gegeben. Es soll der Schnittwinkel von und im Schnittpunkt bestimmt werden. Die Ableitung von ist . Die Ableitung am -Wert des Schnittpunkts ist . Die Geradensteigung kann man ablesen als . Somit folgt
Der Schnittwinkel von und in beträgt also .

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Tangente durch den Kurvenpunkt

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Gleichung einer allgemeinen Geraden lautet . Zunächst bestimmt man die Ableitung von als . Setzt man die -Koordinate von in ein, so erhält man: . Somit hat die Tangente die Form . Um zu bestimmen, wird noch einmal der Punkt für und in den Ansatz der Tangente eingesetzt:
    Die gesuchte Tangentengleichung ist daher .
  2. Wie in der letzten Aufgabe bestimmt man zuerst die Ableitung . Der -Wert von ist . Dieser Wert wird in eingesetzt und man erhält . Dies liefert den Ansatz für die gesuchte Tangente. Als letztes wird der Punkt in diesen Ansatz eingesetzt um zu bestimmen:
    Die Tangentengleichung ist somit .
  3. Als neue Schwierigkeit kommt hier die e-Funktion dazu. Solltest Du mit der e-Funktion noch Schwierigkeiten haben, schau Dir am besten nochmal den Artikel zur Exponentialfunktion an. Leitet man ab, so erhält man (n). Der -Wert von in eingesetzt ergibt . Man erhält den Ansatz . Um zu bestimmen, setzt man in diesen Ansatz ein:
    Die gesuchte Tangente hat die Gleichung .
  4. Die Ableitung von ist . Setzt man den -Wert von in ein, so erhält man:
    Der Ansatz für die Tangente ist somit . Schließlich setzt man noch den Punkt in den Ansatz ein, um zu bestimmen:
    Die gesuchte Tangente hat somit die Gleichung .
  5. Um die Ableitung von zu bestimmen, benötigst Du die Produktregel. Wenn man diese anwendet, erhält man . Setzt man nun den -Wert von dort ein, so folgt:
    Um zu bestimmen, muss man zunächst den -Wert von bestimmen. Dieser ist . Nun kann man in den Ansatz der Tangente einsetzen, um zu bestimmen:
    Die gesuchte Tangente hat damit die Gleichung .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme alle Tangenten an die Funktion mit der gegebenen Steigung .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Wie im Rezept bestimmt man zunächst die Ableitung von . Diese ist . Als nächstes bestimmt man, für welches die Ableitung den Wert hat:
    Somit ist der -Wert des Berührpunktes gleich 2. Um den -Wert zu bestimmen, setzt man in ein und erhält . Es folgt: . Da die Steigung von vorgegeben ist, hat die gesuchte Tangente den Ansatz . Um das fehlende zu bestimmen setzt man nun in diesen Ansatz ein:
    Die gesuchte Tangente ist also .
  2. Die Ableitung von ist . Gesucht ist für das ist. Es folgt daher:
    An dieser Stelle übersehen viele, dass auch eine mögliche Lösung ist. Wenn Dir das auch passiert ist, schau Dir gerne unseren Artikel über die Lösung einer quadratische Gleichungen an. Da wir zwei mögliche -Werte haben, gibt es auch zwei mögliche Berührpunkte mit den -Werten und . Die zugehörigen -Werte erhält man, wenn man die -Werte jeweils in einsetzt. Es ist und . Die Berührpunkte sind also:
    Für beide Fälle ist der Ansatz für die Tangente gleich . Setzt man den ersten Berührpunkt ein, so erhält erhält man:
    Beim zweiten Berührpunkt erhält man
    Es gibt also zwei mögliche Tangenten an , deren Steigung gleich 9 ist. Die Gleichungen lauten und . Untenstehende Abbildung zeigt, wie die Tangenten am Schaubild liegen:
  3. Die Ableitung von ist . Als nächstes bestimmt man, für welches die Ableitung den Wert annimmt. Um dieses zu bestimmen, muss man die folgende Exponentialgleichung lösen:
    Den Berührpunkt erhält man, indem man in einsetzt. Es folgt:
    Somit ist der Berührpunkt gleich . Aufgrund der vorgegebenen Steigung ist der Ansatz für die Tangentengleichung gleich . Das wird nun bestimmt, indem der Berührpunkt in die Gerade eingesetzt wird:
    Daraus folgt die Gleichung der gesuchten Tangente als .
  4. Zunächst leitet man ab und erhält . Sucht man die für die ist, muss man folgende Gleichung lösen:
    Um diese Gleichung zu lösen benötigt man die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel:
    Da es zwei verschiedene -Werte gibt, gibt es auch zwei verschiedene Berührpunkte und . Die zugehörigen erhält man, wenn man die jeweiligen -Werte in einsetzt. Es folgt
    Die Berührpunkte sind somit
    Aufgrund der gegebenen Steigung ist der Ansatz für die Tangente gegeben durch . Setzt man die beiden Berührpunkte ein, so erhält man die beiden (waagrechten) Tangenten und .
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 13. 09. 2018