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Tangenten

Tangente durch Fernpunkt

Was Du in diesem Artikel lernst

Lernziele

  • Eine Tangente von einem Punkt außerhalb der Kurve (Fernpunkt) an die Kurve berechnen
Falls Du noch nicht weißt, wie man eine Tangente in einem Kurvenpunkt berechnet, so schaue Dir gerne nochmal unseren Artikel über die Tangente an.

Tangente durch Fernpunkt: Grundwissen

Was ist eine Tangente durch einen Fernpunkt?

Bei dem Begriff Tangente durch Fernpunkt handelt es sich nicht um eine mathematische Definition. Stattdessen wird mit diesem Begriff eine ganz besondere Aufgabenstellung bezeichnet:

Gegeben ist das Schaubild einer Funktion sowie ein Punkt . Dabei ist entscheidend, dass der Punkt nicht auf dem Schaubild von liegt. Die Lösung ist, alle Geraden zu finden, die sowohl durch gehen als auch eine Tangente an das Schaubild von sind.

Im Bild unten ist diese Problemstellung skizziert. Dabei sind die Parabel und der Punkt vorgegeben. Die beiden eingezeichneten Gerade (bzw. deren Gleichungen) sind die Lösung des Problems.

Bemerkung: Die Gerade berührt die Parabel außerhalb des eingezeichneten Bereichs.

Hilfsmittel: Die allgemeine Tangentengleichung

Um die Tangente durch einen Fernpunkt zu bestimmen, ist die allgemeine Tangentengleichung ein hilfreiches Werkzeug. Diese Gleichung beschreibt gleichzeitig alle Tangenten, die es an eine Kurve gibt.

Ist eine (differenzierbare) Funktion und ist ein beliebiger Punkt auf dem Schaubild von , dann ist die Gleichung der Tangente, die das Schaubild von im Kurvenpunkt berührt gegeben durch den folgenden Ausdruck:

Sei gegeben. Dann hat ein beliebiger Punkt , der auf dem Schaubild von liegt, die Koordinaten . Die Ableitung von ist . Daher hat die Tangente an das Schaubild von im Punkt folgende Gleichung:
Betrachtet man zum Beispiel den Punkt und möchte die Tangente an , die in berührt, so muss man nur in obige Gleichung einsetzten. Die Tangente an ist also:

Nicht immer existiert die gesuchte Tangente

Anders als bei vielen anderen Fragestellungen im Mathe-Abi, hat die Frage nach einer Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve nicht immer eine Antwort. Ist zum Beispiel eine Parabel gegeben und der Fernpunkt im "Inneren" der Parabel, so gibt es keine Tangente an die Parabel, die durch diesen Punkt verläuft.

Berechnung der Tangente durch einen Fernpunkt

Tangente durch Punkt außerhalb der Kurve bestimmen

Gegeben sind der Graph der Funktion mit
und ein Punkt , welcher nicht auf liegt. Bestimme die Gleichungen aller Tangenten an den Graph von , welche durch den Punkt verlaufen.
  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung der Funktion :
  • Schritt 2: Die allgemeine Gleichung einer Tangente an den Graphen von an der Stelle lautet:
  • Schritt 3: Setze und in die allg. Tangentengleichung ein.
  • Schritt 4: Bestimme die Beührstellen. Setze dazu die Koordinaten von als und in die Gleichung ein und löse nach auf:
  • Schritt 5: Setze die soeben ermittelten Werte von in die allgemeine Tangentengleichung ein, dies liefert die Gleichungen der gesuchten Tangenten:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme alle Tangenten durch an das Schaubild von .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Zunächst bestimmt man die Ableitung von . Diese ist . Die allgemeine Tangentengleichung ist gegeben durch folgenden Term:

    Dort setzt man nun und ein und vereinfacht so weit wie möglich:
    Im nächsten Schritt setzt man den Punkt in diese Gleichung ein und vereinfacht so weit wie möglich:
    Im nächsten Schritt löst man die Gleichung nach auf. Dafür benötigt man die pq-Formel oder die Mitternachtsformel. Man erhält dann und . Diese Werte von setzt man nun die (oben vereinfachte) allgemeine Tangentengleichung ein und erhält so die beiden gesuchten Tangenten:
  2. Auch hier berechnet man zunächst die Ableitung von . Diese ist gegeben durch . Als nächstes setzt man die Werte von und in die allgemeine Tangentengleichung ein und vereinfacht so weit wie möglich:

    Im nächsten Schritt setzt man den Punkt in diese Gleichung ein:
    Diese letzte Gleichung soll nun nach aufgelöst werden. Dafür ist der Satz vom Nullprodukt erforderlich. Klammert man aus, so erhält man:
    Diesen Wert für setzt man nun in die vereinfachte allgemeine Tangentengleichung ein und vereinfacht:
    Die gesuchte Tangente lautet somit .
  3. Die Ableitung von ist . Daraus ergibt sich die folgende allgemeine Tangentengleichung:

    In diese Gleichung setzt man nun den Punkt ein:
    Diese Gleichung soll nun nach aufgelöst werden. Stellt man sie um, so erhält man . Die Lösung wäre damit . Da Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind, ist diese Gleichung nicht lösbar. Daher gibt es keine Tangente an das Schaubild von , die durch den Punkt verläuft.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 18. 09. 2018