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Abstand windschiefer Geraden

Abstand windschiefer Geraden

Möglichkeit 1

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:

Gesucht ist der Abstand zwischen und .
Schritte
  • Schritt 1: Stelle eine Hilfsebene aus und dem Richtungsvektor von auf und wandle diese in Koordinatenfom um:
  • Schritt 2: Berechne den Abstand zwischen und Stützpunkt von Gerade :
    Der Abstand zwischen und beträgt Längeneinheiten.

Möglichkeit 2

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:

Gesucht ist der Abstand zwischen und .
Schritte
  • Schritt 1: Stelle einen allgemeinen Verbindungsvektor zwischen und auf:
  • Schritt 2: Bestimme aus der Orthogonalität des Verbindungsvektors mit den Richtungsvektoren der Geraden die Parameter und :
    Daraus folgt:
  • Schritt 3: Setze und in den allgemeinen Verbindungsvektor ein:
  • Schritt 4: Berechne die Länge von . Es folgt:
    Der Abstand zwischen und beträgt 5 Längeneinheiten.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Bestimme jeweils die Abstände der windschiefen Geraden.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Mit Möglichkeit 1:
Schritte
  • Hilfsebene aus und Richtungsvektor von :
  • Abstand zwischen und Stützpunkt von Gerade .
  1. Mit Möglichkeit 2
Schritte
  • Schritt 1: Allgemeiner Verbindungsvektor zwischen und :
  • Schritt 2: Orthogonalität von und Richtungsvektoren liefert und .
    Daraus folgt:
  • Schritt 3: Setze und in den allgemeinen Verbindungsvektor ein:
  • Schritt 4: Berechne die Länge von :

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Berechne die geringste Entfernung der Gerade zur -Achse:

Lösung zu Aufgabe 2

Für die -Achse lautet die Geradengleichung:

Gesucht ist der Abstand zwischen und .

Mit Möglichkeit 1:

Schritte
  • Schritt 1: Hilfsebene aus und Richtungsvektor von :
  • Schritt 2: Abstand zwischen und Stützpunkt von Gerade von :

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Zwei Läufer laufen auf einer Leichtathletikbahn. Läufer läuft auf Bahn und Läufer auf Bahn :

Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
  1. Läufer benutzt seine Arme beim Laufen und schwingt diese nach vorne und nach hinten, aber auch nach rechts und nach links. Gemessen von der Körpermitte haben die Arme jeweils eine Länge von einem Meter. Gib eine sinnvolle Beschreibung an, wie viel Platz der Läufer bei seinem Lauf vereinnahmt und kläre, ob die Arme des Läufers jemals die Laufbahn von berühren.
  2. Ein Seil ist direkt über der Laufbahn montiert entlang der Geraden :
    Beide Läufer sind ungefähr Meter groß. Wird einer der beiden Läufer das Seil berühren?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Der Läufer lässt seine Arme einen Meter nach links und rechts schwingen (gemessen von der Körpermitte). Dann braucht er eine Bahn, die mindestens zwei Meter breit ist. Sie wird beschrieben, durch zwei Geraden und links und rechts seiner Laufbahn, die parallel zur ihr sind und jeweils einen Abstand von einem Meter haben. Es werden zunächst zwei Punkte links und rechts der Bahn mit einem Abstand von je einem Meter berechnet. Dafür wird der der Vektor benötigt, der senkrecht zu der Laufrichtung ist. Da der Läufer sich nicht nach oben und unten bewegt, ist dieser gegeben durch
    Die beiden Punkte erhält man nun als
    Die beiden begrenzenden Geraden sind folglich
    Um zu klären, ob die Arme von je die Laufbahn von berühren, berechnen wir den Abstand zwischen den beiden parallelen Laufbahnen und .
Schritte
  • Hilfsebene mit und Normalenvektor lautet:
  • Schnittpunkt von und berechnen. Hierzu in einsetzen:
    Damit gilt:
  • Abstand von zu berechnen:
    Der Abstand zwischen den Laufbahnen beträgt ca. und folglich kann der Läufer die Laufbahn von nicht berühren. Wenn sie allerdings beide Armbewegungen nach außen machen, könnte es eng werden.
  1. Die Gerade ist windschief zu den Geraden und . Um zu klären, ob die Läufer das Seil berühren, müssen die Abstände und berechnet werden.
    mit Möglichkeit 1:
Schritte
  • Hilfsebene aus und Richtungsvektor von :
  • Abstand zwischen und Stützpunkt von Gerade .
    Auf die gleiche Weise erhält man für den anderen Läufer Der Läufer sollte beim Laufen aufpassen; der Abstand zwischen seiner Bahn und dem Seil beträgt zwischendurch nur . Läufer sieht sich einer Hürde gegenüber. Das Seil kommt bis auf an seinen Laufweg heran. Wenn er nicht aufpasst, so kann er stolpern.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018