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Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung

Erklärung

Einleitung

Die Differential- und die Integralrechnung gehören logisch zusammen, denn das eine ist die Umkehrung des anderen. Wenn du die Integralrechnung verstehen möchtest, hilft es also sich zuerst mit Ableitung der Potenzfunktion zu beschäftigen.
Wie die Integralrechnung und die Differentialrechnung zusammenhängen lässt sich am besten in einem Bild darstellen:

Durch die Ableitung der Ausgangsfunktion erhält man . Wenn man die Funktion integriert (oder aufleitet), erhält man eine Stammfunktion . Wir merken uns also folgendes:

Stammfunktionen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet. ist demnach eine Stammfunktion von .

Nach der im obigen Bild beschriebenen Logik ist aber nicht nur eine Stammfunktion von , sondern auch eine Stammfunktion von . Um die Konvention mit den Großbuchstaben zu wahren, schreiben wir also

und damit wären wir auch schon bei der Definition der Stammfunktion.

Stammfunktion

Eine Funktion ist eine Stammfunktion einer Funktion , wenn für alle gilt:

Die Aufgabe "bestimme eine Stammfunktion von " kann also auch folgendermaßen interpretiert werden: "Finde eine Funktion , die abgeleitet wieder der Ausgangsfunktion entspricht".

Ein kleines Beispiel:

Wir suchen die Stammfunktion von .
Anders gesagt: Wir suchen eine Funktion , die abgeleitet ergibt.

Leitet man ab, erhält man .
ist also eine Stammfunktion von .

Aber warum eigentlich "eine" Stammfunktion und nicht "die" Stammfunktion?

"Eine" Stammfunktion

Wir sprechen in diesem Artikel durchgängig von "eine" anstatt "der" Stammfunktion. Das liegt daran, dass es zu einer gegebenen Ausgangsfunktion nicht nur eine Stammfunktion gibt, sondern unendlich viele. Schauen wir uns das Beispiel von eben noch einmal genauer an:

Im vorherigen Beispiel haben wir festgestellt, dass eine Stammfunktion von ist. Die Bedingung dafür lautet: Die Ableitung von muss ergeben.

Aber ist der einzige Term der abgeleitet ergibt? Was ist mit
  • etc.?
Richtig, die Ableitung all dieser Funktionsterme ist , da die Ableitung einer Konstanten immer ergibt.
Die Ausgangsfunktion besitzt also nicht nur eine, sondern eine unendliche Anzahl an Stammfunktionen.

Wir merken uns also:

Eine Funktion hat beliebig viele Stammfunktionen , .

Das unbestimmte Integral

Wir haben im vorherigen Abschnitt gelernt was eine Stammfunktion ist. Außerdem haben wir herausgefunden, dass eine gegebene Funktion nicht nur eine, sondern eine unendliche Anzahl an Stammfunktionen besitzt. Da es etwas umständlich ist diese Stammfunktionen als "die unendliche Menge aller Stammfunktionen der Ausgangsfunktion " zu bezeichnen, verwendet man stattdessen das unbestimmte Integral.

Das unbestimmte Integral von ist die Menge aller Stammfunktionen von . Es gilt:
mit einer beliebigen Zahl .

Wir bedienen uns ein letztes Mal am Beispiel von oben:

Zur Erinnerung: und .
Möchten wir dies nun in die Form bringen, gilt:

Ein Integral beginnt mit dem Integrationszeichen und endet mit . Das markiert aber nicht nur das Ende des Integranden, sondern gibt auch Aufschluss darüber, über welche Variable integriert wird. Vergesst also bitte nie das ans Ende des Integrals zu schreiben.

Integrationsregeln

Bis jetzt haben wir uns viel mit der Theorie zur Integralrechnung beschäftigt. Aber wie wird ein Integral konkret berechnet? Dazu gibt es eine Reihe von Rechenregeln und Verfahren die man anwenden kann.

Potenzregel

e-Funktion

sin-Funktion

cos-Funktion

Kehrwert

Faktorregel

Summenregel

Differenzenregel

Neben diesen Grundregeln gibt es ein Reihe an weiteren Methoden/Verfahren die dir in der Integralrechnung nützlich sein können:

Einige Grundintegrale

In diesem Artikel haben wir schon mehrmals den Bezug zwischen Ableitung und Integration hervorgehoben. Obwohl die beiden Verfahren Gemeinsamkeiten haben, lässt sich eines nicht von der Hand weisen: Ableiten ist eine Technik, Integration ist eine Kunst. Da es manchmal schwierig sein kann eine passende Stammfunktion zu finden, hier ein Reihe von Grundintegralen.

Funktion Integral

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Zeige jeweils, dass eine Stammfunktion von ist:

  1. , .
  2. , .
  3. , .

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist eine Stammfunktion von , wenn gilt. Man leitet also ab und überprüft dann, ob dabei herauskommt.

  1. Hier kann man mit der Produktregel ableiten:
  2. Mit der Produktregel ergibt sich:
  3. Hier lautet das Stichwort "Kettenregel" Mit
    ist eine Verkettung zweier Funktionen gegeben. Die innere Funktion ist , die äußere Funktion ist . Die Ableitung von ist also:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Zeige jeweils, dass eine Stammfunktion von ist:

  1. , .
  2. , .

Lösung zu Aufgabe 2

Die Funktion ist eine Stammfunktion von , wenn gilt. Man leitet also ab und überprüft dann, ob dabei herauskommt.

  1. Es gilt:
  2. Es gilt:
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 05. 2018